c) Transformations de symétrie

Deux états physiques $\Psi$ et $\varphi$ d'un système $\Sigma$ sont intrinsèquement indiscernables si, pour chacun de ces deux états, toutes les mesures internes au système donnent les même résultats. Deux tels états, ainsi que leurs kets images, seront dits équivalents :

$$\mid \Psi>\,\approx\mid \varphi>$$

Toute transformation active $T$ appliquée à un système, c'est-à-dire à ses états, et qui laisse invariantes les classes d'équivalence de ces états :

$$\mathcal{T}\,\mid \Psi>\,\approx\mid \Psi>~~~~~~~~~~~~ \forall\,\mid \Psi>\,\in\,\cal{H}_{\cal{S}}$$

s'appelle une transformation de symétrie. Par exemple une rotation $R$ ($R$ est la transformation $T$ ) appliquée à un atome polarisé dans un état excité (qui est l'état $\Psi$ du système $\Sigma$ ) change son orientation, et donc son état vu de l'extérieur, mais les rapports d'embranchement correspondant à la désexcitation de cet état peuvent demeurer constants et indépendants^III10 de $R$ . Dans ce cas $R$ est une transformation de symétrie. Puisque, comme nous l'avons vu, toute transformation active $T$ est équivalente à la transformation passive $T^{-1}$ , nous obtenons deux expressions correspondant à la même définition, à savoir :

Transformation de symétrie

   Une transformation de symétrie est une transformation sans effet observable.

$\imath-$ D'un point de vue actif, cela signifie que tous les résultats des mesures expérimentales faites sur $\Sigma^\prime=T\,\Sigma$ (et internes à $\Sigma^\prime$ sont identiques aux résultats des mesures faites sur $\Sigma$ . Pour un observateur interne au système physique, la transformation $\Sigma\to\Sigma^\prime$ est donc inobservable.

$\imath\imath-$ D'un point de vue passif, cela signifie que le changement de repère $S\to S^\prime=T\,S$ ne modifie en rien la formulation théorique. Notamment, les équations du mouvement sont invariantes dans le changement de référentiel.

Question 3-9 : Donnez des exemples de transformations de symétrie. Montrez que les transformations de symétrie constituent des groupes que l'on appellera groupes de symétrie.