Unitarité

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Unitarité

Toutes les transformations $\mathcal{T}$ considérées par la suite seront des transformations de symétrie. A ce titre, elles sont sans effet observable sur les résultats de mesure, et par suite conservent tous les modules des produits scalaires, puisque ceux-ci mesurent des probabilités de transition.

Par suite, $\varphi$ et $\Psi$ désignant deux états quelconques :

$\displaystyle \mid <\Psi\mid \varphi>\mid =<\Psi\mid \,\mathcal{T}^\dagger.\mathcal{T}\,\mid \varphi>$

Ainsi, un tel opérateur $\mathcal{T}$ établit une correspondance biunivoque^III11 :

$\displaystyle \mid \Psi>~~\longrightarrow~~\mathcal{T}\,\mid \Psi>~~~~~~~~~~~~ \mid \varphi>~~\longrightarrow~~\mathcal{T}\,\mid \varphi>$

définie à un facteur de phase près $e^{i\alpha}$ , entre les vecteurs de l'espace $\mathcal{H}$ . Un théorème dû à Wigner démontre que lorsqu'une telle correspondance biunivoque conserve le module des produits scalaires, on peut fixer les phases arbitraires de telle sorte que l'opérateur satisfasse :

$\displaystyle \mathcal{T}^\dagger\,\mathcal{T}=\mathcal{T}\,\mathcal{T}^\dagger=\mathbf{1}~~~~~~ \mathrm{et}~~~~~~\mathcal{T}^\dagger=\mathcal{T}^{-1}$

Un tel opérateur, par ailleurs linéaire, est dit unitaire.

On notera que les transformations de similarité réalisées avec un tel opérateur unitaire :

$\displaystyle A_d=\mathcal{T}\,A\,\mathcal{T}^{-1}$

$\imath-$ conservent les valeurs propres :

$\displaystyle \mathrm{Si}~~~~~~A\,\mid a>=a\,\mid a>$

$\displaystyle \mathcal{T}\,A\,\mathcal{T}^{-1}\,\mathcal{T}\,\mid a>=a\,\mathcal{T}\,\mid a>$

$\displaystyle \mathrm{d'o\grave{u}}~~~~~~A_d\,\mid a>_d\,=a\,\mid a>_d$

$\imath\imath-$ conservent les relations algébriques :

$\displaystyle \mathrm{Par~exemple~si}~~~~~~A.B+C=D$

$\displaystyle \left(\mathcal{T}\,A\,\mathcal{T}^{-1}\right)\, \left(\mathcal{T}... ...1}\right)+ \mathcal{T}\,C\,\mathcal{T}^{-1}= \mathcal{T}\,D\,\mathcal{T}^{-1}\,$

$\displaystyle \mathrm{d'o\grave{u}}~~~~~~A_d.B_d+C_d\,=D_d$

$\imath\imath\imath-$ conservent l'hermiticité :

$\displaystyle A_d^\dagger=\left(\mathcal{T}\,A\,\mathcal{T}^{-1}\right)^\dagger... ...agger\,A^\dagger\,\mathcal{T}^\dagger= \mathcal{T}\,A^\dagger\,\mathcal{T}^{-1}$

$\displaystyle \mathrm{Si}~~~~~~A^\dagger=A~~~\Longrightarrow~~~A_d^\dagger=A_d$

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Arnaud Balandras 2005-04-02