Unitarité

Toutes les transformations $\mathcal{T}$ considérées par la suite seront des transformations de symétrie. A ce titre, elles sont sans effet observable sur les résultats de mesure, et par suite conservent tous les modules des produits scalaires, puisque ceux-ci mesurent des probabilités de transition.

Par suite, $\varphi$ et $\Psi$ désignant deux états quelconques :

$$\mid <\Psi\mid \varphi>\mid =<\Psi\mid \,\mathcal{T}^\dagger.\mathcal{T}\,\mid \varphi>$$

Ainsi, un tel opérateur $\mathcal{T}$ établit une correspondance biunivoque^III11 :

$$\mid \Psi>~~\longrightarrow~~\mathcal{T}\,\mid \Psi>~~~~~~~~~~~~ \mid \varphi>~~\longrightarrow~~\mathcal{T}\,\mid \varphi>$$

définie à un facteur de phase près $e^{i\alpha}$ , entre les vecteurs de l'espace $\mathcal{H}$ . Un théorème dû à Wigner démontre que lorsqu'une telle correspondance biunivoque conserve le module des produits scalaires, on peut fixer les phases arbitraires de telle sorte que l'opérateur satisfasse :

$$\mathcal{T}^\dagger\,\mathcal{T}=\mathcal{T}\,\mathcal{T}^\dagger=\mathbf{1}~~~~~~ \mathrm{et}~~~~~~\mathcal{T}^\dagger=\mathcal{T}^{-1}$$

Un tel opérateur, par ailleurs linéaire, est dit unitaire.

On notera que les transformations de similarité réalisées avec un tel opérateur unitaire :

$$A_d=\mathcal{T}\,A\,\mathcal{T}^{-1}$$

$\imath-$ conservent les valeurs propres :

$$\mathrm{Si}~~~~~~A\,\mid a>=a\,\mid a>$$

$$\mathcal{T}\,A\,\mathcal{T}^{-1}\,\mathcal{T}\,\mid a>=a\,\mathcal{T}\,\mid a>$$

$$\mathrm{d'o\grave{u}}~~~~~~A_d\,\mid a>_d\,=a\,\mid a>_d$$

$\imath\imath-$ conservent les relations algébriques :

$$\mathrm{Par~exemple~si}~~~~~~A.B+C=D$$

$$\left(\mathcal{T}\,A\,\mathcal{T}^{-1}\right)\, \left(\mathcal{T}... ...1}\right)+ \mathcal{T}\,C\,\mathcal{T}^{-1}= \mathcal{T}\,D\,\mathcal{T}^{-1}\,$$

$$\mathrm{d'o\grave{u}}~~~~~~A_d.B_d+C_d\,=D_d$$

$\imath\imath\imath-$ conservent l'hermiticité :

$$A_d^\dagger=\left(\mathcal{T}\,A\,\mathcal{T}^{-1}\right)^\dagger... ...agger\,A^\dagger\,\mathcal{T}^\dagger= \mathcal{T}\,A^\dagger\,\mathcal{T}^{-1}$$

$$\mathrm{Si}~~~~~~A^\dagger=A~~~\Longrightarrow~~~A_d^\dagger=A_d$$