Déplacement des états

Du point de vue de la physique classique, déplacer par translation un système (une particule par exemple) d'une longueur $\vec{a}$ c'est amener au point $\vec{M}+\vec{a}$ tout élément du système, qui était au point $\vec{M}$ .

D'un point de vue quantique, cette définition est inadaptée, puisque les objets quantiques ne sont pas supposés tous localisés. Par ailleurs, le formalisme quantique est fondé sur la notion d'état. Déplacer un système consistera donc à déplacer son état.

Or, dans la représentation de Schrödinger, l'état $\Psi$ d'une particule :

$$\mid \Psi>=\int_{-\infty}^{+\infty}\,\Psi(x,y,z)\,\mid x,y,z>\,dx\,dy\,dz$$

peut être représenté par sa fonction d'onde :

$$\Psi(x,y,z)=\Psi(\vec{M})$$

qui distribue dans tout l'espace la probabilité de l'y localiser. Dépacer la particule, c'est donc changer la fonction d'onde représentative de son état :

$$\Psi(\vec{M})~~~~~~\longrightarrow~~~~~~\Psi_d(M)$$

Si $\mathcal{D}_x(\delta x)$ désigne l'opérateur correspondant à un déplacement de longueur $\delta x$ dans la direction $x$ , on obtient successivement :

$$\mid \Psi>_d=\mathcal{D}_x(\delta x)\,\mid \Psi>= \int_{-\infty}^{+\infty}\,\Psi(x,y,z)\,\mathcal{D}_x(\delta x)\, \mid x,y,z>\,dx\,dy\,dz$$

mais :

$$\mathcal{D}_x(\delta x)\,\mid x,y,z>=\mid x+\delta x,y,z>$$

d'où l'expression de l'opérateur de déplacement :

$$\mathcal{D}_x(\delta x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\, \mid x+\delta x,y,z>\,dx\,dy\,dz\,<x,y,z\mid$$

et le ket de l'état déplacé devient :

$$\begin{array}{ccc} \mid \Psi>_d & = & \int_{-\infty}^{+\infty... ... x,y,z)\, \mid x^\prime,y,z>\,dx^\prime\,dy\,dz \\ \end{array}$$

en changeant la variable d'intégration $x=x^\prime-\delta x$ , d'où résulte la fonction d'onde représentative de cet état déplacé :

$$\Psi_d(x,y,z)=\Psi(x-\delta x,y,z)$$

ou encore plus généralement pour un déplacement $\overrightarrow{\delta M}$ queconque :

$$\Psi_d(\vec{M})=\Psi(\vec{M}-\overrightarrow{\delta M})$$

Considérons tout d'abord des translations de longueur infinitésimale et donc proches de l'identité :

$$\mathcal{D}_x(\delta x)=\mathbf{1}+\delta x.d_x$$

A l'instar de $\mathcal{D}_x$ , $d_x$ est un opérateur. Nous verrons comment sa détermination entraine celle de tous les opérateurs $\mathcal{D}_x$ . Pour cette raison, on l'appelle le générateur infinitésimal des translations dans la direction $O\vec{x}$ :

$$d_x=\lim_{\delta x\to 0}\,\frac{\mathcal{D}_x(\delta x)-\mathbf{1}}{\delta x}$$

$\mathcal{D}$ est en général défini, comme tout opérateur $\mathcal{T}$ de transformation, à un facteur de phase arbitraire près $e^{i\,\alpha}$ , tel que $\alpha\to 0$ quand $\delta x\to 0$ puisque alors $\mathcal{D}\to\mathbf{1}$ . Si donc on multiplie $\mathcal{D}$ par un tel facteur arbitraire :

$$\lim_{\delta x\to 0}\,\frac{\mathcal{D}\,e^{i\,\alpha}-\mathbf{1}... ...c{\mathcal{D}_x(\delta x)-\mathbf{1}+i\,\alpha(\delta x)}{\delta x}= d_x+i\,a_x$$

$a_x$ désignant un nombre réel, de telle sorte que le générateur $d_x$ est lui-même défini à une constante imaginaire pure $i\,a_x$ additive près.

De l'unitarité de $\mathcal{D}$ résulte :

$$\mathcal{D}^\dagger\,\mathcal{D}=\left(\mathbf{1}+\delta x.d_x^\dagger\right) \left(\mathbf{1}+\delta x.d_x\right)=\mathbf{1}$$

d'où résulte, puisque $\delta x$ est infinitésimal :

$$d_x^\dagger=-d_x$$

Le générateur $d_x$ est un opérateur antihermitique.