Déplacement des observables

La loi de transformation par similarité des observables s'écrit comme dans le cas général des opérateurs linéaires :

$$A~~~~~\longrightarrow~~~~~A_d=\mathcal{D}\,A\,\mathcal{D}^{-1}$$

de telle sorte que pour une transformation infinitésimale :

$$A_d= \left(\mathbf{1}+\delta x.d_x\right)\,A\,\left(\mathbf{1}-\delta x.d_x\right)= A+\delta x\,[d_x,A]$$

d'où résulte immédiatement :

$$[d_x,A]=\lim_{\delta x\to 0}\,\frac{A_d-A}{\delta x}$$

Comme nous allons le voir maintenant, chaque translation $\mathcal{D}$ détermine pour chacune des observables $A$ sa forme transformée $A_d$ . Les valeurs de tous les commutateurs $[d_x,A]$ en résultent, et ces valeurs vont déterminer à leur tour le générateur $d_x$ lui-même.

Quel que soit le système physique^III12 étudié (particule, atome, molécule,...) nous pouvons exprimer toutes ses variables dynamiques en fonction des suivantes : d'une part les coordonnées $\hat{X},\hat{Y},\hat{Z}$ de son centre de masse, et les moments conjugués $\hat{P_x},\hat{P_y},\hat{P_z}$ qui sont les composantes de l'impulsion totale du système, et d'autre part : d'autres variables dynamiques associées aux degrés de liberté internes du système dans ses mouvements ou déformations possibles autour de son centre de masse, telles que par exemple les coordonnées de chacune des particules composantes du système, mesurées dans le référentiel du centre de masse. Précisons comment chacune des observables $A$ précédentes est transformée en $A_d$ .

Or, déplacer les observables dans une direction $O\vec{x}$ et d'une longeur $\delta x$ , c'est imposer ce même déplacement au référentiel dans lequel sont installés les appareillages qui mesurent ces observables. Dans la translation ici considérée, seule la mesure de la coordonnée $\hat{X}$ est modifiée, et c'est ce que nous allons montrer.

En effet, déplacer l'observable $O\vec{x}$ , c'est déplacer le plan de référence $Oyz$ , par rapport auquel la coordonnée $x$ est elle-même mesurée de telle sorte que classiquement : $$x_d=x-\delta x$$ ou encore, conformément au codage quantique : $$X_d=X-\delta x.\mathbf{1}$$

$$X_d=X-\delta x.\mathbf{1}~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~[d_x,X]=-\mathbf{1}$$

Les autres observables $Y,Z,P_x,P_y,P_z$ ne sont pas affectées par une telle translation, puisque les variables classiques, dont ces observables sont les images quantiques, ne le sont pas elles-mêmes. Toutes ces observables commutent donc avec $d_x$ .

Quant aux variables internes, seules les coordonnées des particules constituantes du système ont leurs mesures modifées, selon la règle précédente :

$$X_d^{(i)}=X^{(i)}-\delta x.\mathbf{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(i=1,2,\ldots,N)$$

mais puisque les variables internes ne sont que des coordonnées relatives :

$$X_d^{(i)}-X_d=X^{(i)}-X~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~ X_d^{(i)}-X_d^{(j)}=X^{(i)}-X^{(j)}$$

toutes ces variables sont invariantes.