d) Action dans $\cal{H}_{\cal{S}}^*$

A tout opérateur linéaire $L$ agissant dans $\cal{H}_{\cal{S}}$ on peut associer un autre opérateur linéaire agissant dans $\cal{H}_{\cal{S}}^*$ , noté également $L$ , et défini par son action sur un bra quelconque $<f\mid$ de $\cal{H}_{\cal{S}}^*$ . Suite à une notation conventionnelle, $L$ agit dans $\cal{H}_{\cal{S}}^*$ sur sa gauche, et le nouveau bra, noté $<f\mid L$ est défini par son action sur un ket quelconque $\mid g>$ de $\cal{H}_{\cal{S}}$ , de telle sorte que, par définition :

$$(<f\mid L)\mid g>=<f\mid (L\mid g>)=<f\mid L\mid g>$$

Il en résulte immédiatement que $L$ est bien un opérateur linéaire dans $\cal{H}_{\cal{S}}^*$ et que les deux parenthèses précédentes peuvent être enlevées.

Question 1-3 : Démontrez que $L$ est un opérateur linéaire dans $\cal{H}_{\cal{S}}^*$ .