e) Opérateur hermitique adjoint

A tout opérateur linéaire $L$ agissant dans $\cal{H}_{\cal{S}}$ , on peut également associer un autre opérateur agissant dans $\cal{H}_{\cal{S}}$ ou dans $\cal{H}_{\cal{S}}^*$ , noté $L^\dagger$ et appelé hermitique adjoint de $L$ .

Il est commode de définir d'abord $L^\dagger$ par son action dans $\cal{H}_{\cal{S}}^*$ . Son action dans $\cal{H}_{\cal{S}}$ en résulte comme montré ci-dessous.

Grâce à $L$ , il est en effet possible de déduire de tout bra $<f\mid$ un autre bra $<g\mid$ en procédant comme suit. De $<f\mid$ on déduit $\mid f>$ puis $L\mid f>=\mid g>$ puis $<g\mid$ et par définition de $L^\dagger$ :

Avec $\mid g>=L\mid f>$ alors $<g\mid =<f\mid L^\dagger$

On en déduit aisément que $L^\dagger$ est linéaire. En effet, si :

$$<f\mid =\lambda_1<f_1\mid +\lambda_2<f_2\mid ~~\Longrightarrow~~ \mid f>=\lambda_1^*\mid f_1>+\lambda_2^*\mid f_2>$$

$$\mid g>=L\mid f>=\lambda_1^*L\mid f_1>+\lambda_2^*L\mid f_2>= \lambda_1^*\mid g_1>+\lambda_2^*\mid g_2>$$

et donc :

$$<g\mid =\lambda_1<g_1\mid +\lambda_2<g_2\mid$$

$$<g\mid=(\lambda_1<f_1\mid +\lambda_2<f_2\mid )L^\dagger= \lambda_1<f_1\mid L^\dagger+\lambda_2<f_2\mid L^\dagger$$

et ainsi $L^\dagger$ est bien un opérateur linéaire.