a) Dégénérescence de rotation

Pour un système physique, un atome par exemple, isolé dans l'espace, toutes les directions de l'espace sont équivalentes. Plus précisément l'expression de son hamiltonien $H_0$ est invariante par rotation, de telle sorte que :

$$[H_0,\vec{J}] =$$ 0

$\vec{J}$ désignant le moment angulaire total du système. Tenu compte de l'expression générale d'un opérateur de rotation induite quelconque :

$$\mathcal{R} = \mathcal{R}_u(\theta) ~=~ e^{-\frac{i}{\hbar}\,\theta\,J_u}$$

$\vec{u}$ désignant un axe de rotation quelconque et $\theta$ un angle quelconque, il en résulte :

$$[H_0,\mathcal{R}_u(\theta)] =$$ 0

Si donc $\mid E^n_0>$ désigne un des états de l'atome correspondant à la valeur propre $E^n_0$ :

$$H_0\,\mid E^n_0> = E^n_0\,\mid E^n_0>$$

on en déduit immédiatement :

$$H_0\,\mathcal{R}\,\mid E^n_0> = \mathcal{R}\,H_0\,\mid E^n_0> ~=~ E^n_0\,\mathcal{R}\,\mid E^n_0>$$

Tous les états $\mathcal{R}\,\mid E^n_0>$ déduits de $\mid E^n_0>$ par une rotation quelconque $\mathcal{R}$ sont donc également de états propres de $H_0$ avec la même valeur propre $E^n_0$ . Cette valeur propre est donc dégénérée à moins que l'état $\mid E^n_0>$ ne soit lui-même invariant par rotation quand :

$$\mathcal{R}\,\mid E^n_0> = e^{i\alpha}\,\mid E^n_0>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(\alpha~\mathrm{r\acute{e}el})$$

Ainsi en général toute valeur propre de $H_0$ est dégénérée et cette dégénérescence, qui résulte de l'isotropie de l'espace pour le système physique, s'appelle la dégénérescence de rotation.

Cette dégénérescence révèle que $H_0$ ne constitue pas un E.C.O.C. à lui seul mais puisque :

$$[H_0,J_z] = [H_0,\vec{J}^{\,2}] ~=~ [J_z,\vec{J}^{\,2}] ~=~ 0$$

les trois observables $H_0,~\vec{J}^{\,2}$ et $J_z$ constituent en général un E.C.O.C. dont les vecteurs propres communs notés $\mid n,j,m>$ sont définis sans ambiguïté, de telle sorte que, en particulier :

$$H_0\,\mid n,j,m> = E^n_0\,\mid n,j,m>$$

La dégénérescence de la valeur propre $E^n_0$ est égale au nombre de vecteurs propres distincts $\mid n,j,m>$ relatifs à cette même valeur propre $E^n_0$ . En effet, ces vecteurs sont bien indépendants puisqu'ils sont orthogonaux tandis que les vecteurs $\mathcal{R}\,\mid E^n_0>$ considérés précédemment ne l'étaient pas.

Ces vecteurs propres indépendants se déduisent les uns des autres par action des opérateurs échelons $J_+$ et $J_-$ . En effet puisque $H_0$ commute avec $J_+$ et $J_-$ :

$$H_0\,(J_+\,\mid n,j,m>) = J_+\,H_0\,\mid n,j,m> ~=~ E_0\,(J_+\,\mid n,j,m>)$$

et avec $J_+\,\mid n,j,m>~=~\mathrm{C}^\mathrm{te}\,\mid n,j,m+1>$ :

$$H_0\,\mid n,j,m+1> = E_0\,\mid n,j,m+1>$$

La dégénérescence de la valeur propre $E_0$ est donc égale au nombre de valeurs distinctes de $m$ , soit $2j+1$ . Pour chacune des valeurs propres $E^n_0$ la dégénérescence de rotation est donc d'ordre $\mathbf{2j+1}$ . Elle ne peut être nulle que si le spin $j$ de l'état est nul.

La dégénérescence de la valeur propre $E^n_0$ pourrait encore être d'un ordre plus élevé s'il lui correspondait plusieurs valeurs distinctes de $j$ , ce qui constitue toutefois une circonstance exceptionnelle dûe seulement à la structure particulière^III15 du hamiltonien. Ainsi, en général chaque valeur propre $E_0$ ne dépend que des nombres quantiques $n$ et $j$ et ne dépend pas du nombre quantique magnétique ou azimuthal $m$ :

$$\begin{array}{\vert c\vert} \hline { }\\ ~~E_0 ~=~ E_0\,(n,j)~~ \\ { }\\ \hline \end{array}$$