Symétrie du problème

Dans un atome, chaque électron est soumis à une attraction centrale, issue du noyau, et à ses interactions avec les autres électrons. Du fait de la symétrie approximativement sphérique de l'atome, on peut montrer qu'à titre d'approximation ces interactions ont pour effet de corriger l'attraction du noyau, sans toutefois détruire son caractère central. Il résulte de cette approximation que chacun des électrons se meut indépendamment des autres, comme si il était seul et plongé dans un potentiel central avec une énergie potentielle $V(r)$ qui tient compte de la présence de tous les autres électrons et néanmoins qui ne dépend que de la distance au centre de l'atome.

Un tel système, quand il est constitué d'un seul électron, admet donc pour hamiltonien :

$$H = \frac{\vec{P}^{\,2}}{2m}\,+\,V(r)$$

$\vec{P}$ désignant l'observable vectorielle impulsion. Dès lors, l'hamiltonien est une observable scalaire, invariante par rotation, et qui commute donc avec les générateurs de ces rotations dans l'espace :

$$[H,\vec{L}] =$$ 0

En particulier, $H$ commute avec $\vec{L}^{\,2}$ et $L_z$ et nous allons donc chercher à déterminer les vecteurs propres communs à cet E.C.O.C.

Question 3-30 : Expliquez d'abord physiquement et ensuite mathématiquement pourquoi :

$\imath-$ Quand $V=0$ alors $[H,\vec{P}] = 0 = [H,\vec{L}]$

$\imath\imath-$ Quand $V\not=0$ alors $[H,\vec{P}] \not= 0$ et $[H,\vec{L}]\not= 0$