b) L'impulsion radiale

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b) L'impulsion radiale

Puisque l'énergie potentielle ne dépend que de , il est indiqué d'adopter les coordonnées sphériques $r,~\theta,~\varphi$ et nous sommes ainsi conduits à introduire la composante radiale de l'impulsion. Tenu compte de ce que les composantes des observables vectorielles $\vec{r}$ et $\vec{p}$ ne commutent pas, on est amené à symétriser l'expression classique de définition de telle sorte que :

$\displaystyle p_r$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \frac{1}{2}\,\left(\frac{\vec{r}}{r}~\vec{p} + \vec{p}~\frac{\vec{r}}{r}\right)$

On remarque l'identité mathématique :

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial r}$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \sum_i\,\frac{\partial x_i}{\partial r}\,\frac{\partial}{\partial... ...}\,\frac{\partial}{\partial x_i}~=~ \frac{\vec{r}}{r}\,{\vec{\bigtriangledown}}$

$\vec{\bigtriangledown}$ désignant l'opérateur gradient, d'où :

$\displaystyle \frac{\hbar}{i}\,\frac{\partial}{\partial r}$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \frac{\vec{r}}{r}~\vec{p}$

De même, de la relation mathématique :

$\displaystyle \left( \frac{\partial}{\partial x_i}\,\frac{x_i}{r} \right)\,\psi(x,y,z)$

$\displaystyle =$

$\displaystyle \left(\frac{1}{r} - \frac{x_i^2}{r^3} + \frac{x_i}{r}\,\frac{\partial}{\partial x_i}\right)\,\psi(x,y,z)$

on en déduit la relation entre opérateurs :

$\displaystyle \vec{p}~\frac{\vec{r}}{r}\,\psi$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\hbar}{i}\,\left(\frac{3}{r} - \frac{r^2}{r^3} + \frac{\vec{r}}{r}\,\vec{\bigtriangledown}\right)\,\psi$

	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\hbar}{i}\,\left(\frac{2}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right)\,\psi$

d'où résulte finalement :

$\displaystyle p_r$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{1}{2}~\frac{\hbar}{i}\,\left(\frac{\partial}{\partial r}+\frac{2}{r}+\frac{\partial}{\partial r}\right)$

	$\displaystyle =$	$\displaystyle \frac{\hbar}{i}\,\left(\frac{1}{r} + \frac{\partial}{\partial r}\right)$