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f) Etude de la particule libre

Si $ \varepsilon>0$ et si $ V(r)\,=\,W(r)\,=\,0\,$ , la particule est libre et l'équation radiale, avec $ \rho\,=\,kr$ , se réduit à :

$\displaystyle \left( \frac{d^2}{d\rho^2}+1-\frac{l(l+1)}{\rho^2} \right)\,u_l(r)$ $\displaystyle =$ 0  

Les solutions régulières et irrégulières à l'origine sont respectivement $ \rho\,j_l(\rho)$ et $ \rho\,n_l(\rho)$ , où $ j_l(\rho)$ et $ n_l(\rho)$ désignent respectivement la fonction de Bessel sphérique et la fonction de Neumann sphérique. On définit également les fonctions de Hankel sphériques de $ 1^\mathrm{\grave{e}re}$ et $ 2^\mathrm{\grave{e}me}$ espèce.

$\displaystyle h_l^{(1,2)}(\rho)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle j_l(\rho)\pm i\,n_l(\rho)$  


Arnaud Balandras 2005-04-02