e) Solutions de l'équation radiale

Nous supposerons :

$\imath-$ $W(r)$ borné partout sauf à l'origine en $r^{-1}$ au plus,

$\imath\imath-$ $r^2\,W(r)<\mathrm{C}^\mathrm{te}$ quand $r~\to~\infty$ .

La solution générale est une combinaison linéaire de deux solutions particulières linéaire-ment indépendantes et doit satisfaire aux conditions de régularité et aux conditions aux limites pour : $r\,=\,0$ et $r~\to~\infty$ .

Au voisinage de l'origine on trouve une solution du type :

$$u_l = y ~=~ r^s\,(1+a_1\,r + a_2\,r^2 + \ldots)$$

à condition que :

$$s\,(s+1) = l\,(l+1)$$

Il existe donc deux solutions correspondant à $s=l+1$ et $s=-l$ dont seule la première est régulière $\left(\sim\,r^{l+1}\right)$ à l'origine.

Si $r~\to~\infty$ l'équation radiale s'approche de l'équation :

$$\frac{d^2v}{dr^2} + \varepsilon\,v =$$ 0

Si $\varepsilon>0$ il existe deux solutions indépendantes régulières à l'infini et qui se comportent comme :

$$\sin(\sqrt{\varepsilon}\,r + \varphi)$$

Si $\varepsilon<0$ il existe une seule solution régulière à l'infini qui décroît comme $e^{-\sqrt{-\varepsilon}\,r}$ et seulement pour certaines valeurs bien particulières de $\varepsilon = -\gamma^2_n~~~(\gamma_n>0)$ .

En résumé soit donc la solution $\varphi_l$ régulière à l'origine ($\sim\,r^l$ ).

Si $\varepsilon<0$ elle n'est régulière à l'infini que pour certaines valeurs de $\varepsilon$ :

$$\varepsilon = \varepsilon_n ~=~ -\gamma^2_n$$

et se comporte à l'infini comme :

$$\varphi_l(r)~\sim~\frac{1}{r}\,e^{-\gamma_n\,r}$$

Les états correspondants sont discrets (spectre discret en énergie) et sont liés (probabilité évanescente pour $r=\infty$ ).

Si $\varepsilon>0$ la solution $\varphi_l$ régulière à l'origine est toujours également régulière à l'infini et avec $k=\sqrt{\varepsilon}$ :

$$\varphi_l~\sim~\frac{1}{kr}\,\sin(kr-l\,\frac{\pi}{2} + \delta_l)$$

avec :

$$\delta_l = 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{si}~~~~~W(r)~=~0$$

$\delta_l$ s'appelle le déphasage de l'onde $l$ , et est dû au potentiel $W(r)$ . Les états correspondants sont des états non liés pour lesquels la fonction d'onde ne s'annule pas à l'infini. Ce sont des états de diffusion. Les fonctions d'onde correspondantes ne sont pas normalisables au sens strict et les valeurs propres correspondantes appartiennent au continuum : $\varepsilon>0$