g) Fonctions d'onde de la particule libre

Si $\varepsilon<0$ $h_l^{(1)}(i\gamma\,r)$ régulière à l'infini a un pôle d'ordre $l+1$ à l'origine. Il n'existe donc pas dans ce cas de solution physique d'énergie négative.

Si $\varepsilon>0$ $j_l(kr)$ est une solution régulière partout à laquelle correspond les solutions physiques :

$$\Psi_{l,m}(r,\theta,\varphi) = j_l(kr)\,Y^m_l(\theta,\varphi)$$

Une telle fonction d'onde décrit une particule d'énergie cinétique $E\,=\,\scalebox{1.4}{$\frac{\hbar^2k^2}{2m}$}$ et de moment angulaire $l,m$ .

L'ensemble de ces fonctions propres de $H$ constitue une base complète sur laquelle il est intéressant de développer une onde plane.

L'onde plane $e^{i\,\vec{k}\cdot\vec{r}}$ est également une fonction propre de $H$ correspondant à une particule d'énergie $E\,=\,\scalebox{1.4}{$\frac{\hbar^2k^2}{2m}$}$ et d'impulsion $\vec{p}\,=\,\hbar\,\vec{k}$ . Cette fonction d'onde peut être développée sur la base des états précédents, soit :

$$e^{i\,\vec{k}\cdot\vec{r}} = \sum_{l,m}\,a_{l,m}\,j_l(kr)\,Y^m_l(\theta,\varphi)$$

et on démontre :

$$e^{i\,\vec{k}\cdot\vec{r}} = 4\pi\,\sum_{l=0}^\infty\,\sum_{m=-l}^{m=+l}\,i^l\,Y^{m*}_l(\theta_k,\varphi_k)\,j_l(kr)\,Y^m_l(\theta,\varphi)$$

ou plus simplement en choisissant l'axe $Oz$ dans la direction de $\vec{k}$ :

$$e^{i\,\vec{k}\cdot\vec{r}} = e^{i\,k\,z} ~=~ \sum_l\,i^l\,(2l+1)\,j_l(kr)\,P_l(\cos\theta)$$

$P_l(\cos\theta)$ désignant le polynôme de Legendre d'ordre $l$ , à savoir :

$$P_l(\cos\theta) = \sqrt{\frac{4\pi}{2l+1}}\,Y_{l\,0}(\theta,\varphi)$$