Equation d'évolution

L'opérateur $\mathcal{T}_t(\delta t)$ fait revivre le passé et représente la machine à remonter le temps. Au contraire, l'opérateur d'évolution $\mathcal{U}(\delta t)$ nous projette dans le futur. Ces deux opérateurs sont inverses l'un de l'autre :

$$\mathcal{U}(\delta t).\mathcal{T}_t(\delta t)~\mid \Psi(t)>~=~ \mathcal{U}(\delta t)~\mid \Psi(t-\delta t)>~=~\mid \Psi(t)>$$

quel que soit $\mid \Psi(t)>$ , et donc :

$$\mathcal{U}(\delta t)~=~\mathcal{T}_t(\delta t)^{-1}~=~\mathcal{T}_t(-\delta t)$$

$$\begin{array}{\vert c\vert} \hline \mathcal{U}(\delta t)~=~1-{{i\strut}\over{\hbar\strut}}~\delta t.H(t)\\ \hline \end{array}$$

On peut encore écrire :

$$\mid \Psi(t+\delta t)>~=~\mathcal{U}(\delta t).\mid \Psi(t)>~=~ [1-{{i}\over{\hbar}}~\delta t.H(t)]~\mid \Psi(t)>$$

$${{\mid \Psi(t+\delta t)>-\mid \Psi(t)>} \over{\delta t}}~=~-{{i}\over{\hbar}}~H(t)~\mid \Psi(t)>$$

d'où résulte, en faisant tendre $\delta t$ vers zéro :

$$\begin{array}{\vert c\vert} \hline i\hbar\,{{d\strut}\over{dt... ...ut}}\,\mid \Psi(t)>~=~H(t)\,\mid \Psi(t)>\\ \hline \end{array}$$

Cette équation précise, pour chaque état $\mid \Psi(t)>$ du système, sa dérivée, c'est-à-dire sa pente vers le futur. Son intégration accompagnée de la connaissance d'un état initial $\mid \Psi(t_0)>$ détermine toute l'évolution ultérieure du système abandonnée à lui-même, c'est-à-dire non soumis à des mesures, c'est-à-dire non observé. Cette équation est l'équation fondamentale de la dynamique quantique. Elle remplace l'équation de Newton-Einstein de la dynamique classique, écrite par exemple pour une particule :

$${{d}\over{dt}}\,\vec{p}~=~\vec{F}$$

$\vec{F}$ désignant le concept ``force'' qui est abandonné par la nouvelle mécanique !