Le temps et l'énergie

Prévoir c'est, par la pensée, se déplacer dans le temps, et venir se placer dans le futur. Un tel déplacement dans le temps présente une certaine analogie avec les déplacements dans l'espace, et cette analogie formelle va, ci-après, être renforcée grâce à la théorie de la relativité.

Effectuer une translation dans l'espace (définie par un vecteur $\overrightarrow{\delta M}$ ) c'est amener au point $\overrightarrow{M}$ la situation physique qui étatit réalisée, avant déplacement au point $\overrightarrow{M}-\overrightarrow{\delta M}$ , de telle sorte que la fonction d'onde, après déplacement $\Psi_d$ se déduise de la fonction d'onde $\Psi$ avant déplacement, à l'aide d'un opérateur de déplacement induit $\mathcal{T}(\overrightarrow{\delta M})$ tel que :

$$\mid \Psi_d>~=~\mathcal{T}(\overrightarrow{\delta M})~\mid \Psi>$$

avec :

$$\Psi_d(\overrightarrow{M})~=~\Psi(\overrightarrow{M}-\overrightarrow{\delta M})$$

De même, effectuer une translation dans le temps (définie par une durée $\delta t$ ) c'est faire réaliser à l'instant $t$ , la situation physique qui avait été réalisée à l'instant $t - \delta t$ . C'est restaurer $\Psi(t - \delta t)$ :

$$\mid \Psi_d>~=~\Psi(t - \delta t)~~~~\mathrm{et}~~~~ \mid \Psi_d(t)>~=~\mathcal{T}(\overrightarrow{\delta t})~\mid \Psi(t)>$$

$\mathcal{T}(\delta t)$ désignant l'opérateur de déplacement dans le temps, analogue à l'opérateur $\mathcal{T}(\vec{\delta M})$ de déplacement dans l'espace.

Les translations infinitésimales s'écrivent de manière analogue :

$$\mathcal{T}_x(\delta x)~=~1+\delta x.d_x~~~~~~~~ \mathcal{T}_t(\delta t)~=~1+\delta t.d_t$$

$d_t$ désignant le générateur infinitésimal de translation temporelle, et qu'il s'agit de déterminer. Pour cela, nous allons utiliser le lien que la théorie de la relativité introduit entre les coordonnées d'espace $x_1=x,x_2=y,x_3=z$ et la coordonnée temporelle, qu'il est commode d'introduire sous la forme $x_4=ict$ .

Les trois relations démontrées précédemment :

$$\begin{array}{ccc} P_x=i\hbar d_x & \mathrm{ou} & P_1=i\hbar ... ... P_z=i\hbar d_z & \mathrm{ou} & P_3=i\hbar d_3 \\ \end{array}$$

peuvent alors être étendues aux quatrièmes composantes :

$$\begin{array}{ccc} P_t=i\hbar d_t & \mathrm{ou} & P_4=i\hbar d_4 \\ \end{array}$$

Nous savons que $P_1,P_2,P_3$ désignent ici les composantes de l'impulsion totale du système. $P_4$ est donc la quatrième composante du quadri-vecteur impulsion-énergie totale du système et a pour expression :

$$\mathrm{avec}~~~x_4=ict~~~~~~~~~~P_4~=~i~{{E}\over{c}}$$

$E$ désignant l'énergie totale du système, représentée en mécanique quantique par un opérateur noté $H$ et appelé l'hamiltonien du système, de telle sorte que :

$$d_4~=~{{1}\over{i\hbar}}~P_4~=~{{1}\over{i\hbar}}~H$$

L'opérateur de translation infinitésimale dans le temps peut alors s'écrire :

$$\mathcal{T}_t(\delta t)~=~1+\delta t.d_t~=~1+\delta x_4.d_4~= ~1+ic\,\delta t~{{1}\over{\hbar c}}~H$$

$$\begin{array}{\vert c\vert} \hline \mathcal{T}_t(\delta t)~=~... ...i\strut}\over{\hbar\strut}}~\delta t.H(t)\\ \hline \end{array}$$

On notera que $H$ peut éventuellement dépendre du temps, si la fonction classique de Hamilton dépend elle-même du temps. On découvre ainsi, que le générateur des translations temporelles est l'opérateur hamiltonien, c'est-à-dire l'observable énergie totale du système.

Question 4-1 : En comparant les opérateurs de translation induite dans l'espace et dans le temps, montrez que le formalisme quantique empêche la particule d'avoir une trajectoire.