a) Mécanique quantique

Considérons un système physique dont on sait qu'il se trouve dans l'un de $n$ états possibles $\mid m>$ avec une probabilité $\mathcal{P}_m$ . A cette situation est associé comme nous l'avons déjà vu^IV2 un opérateur densité :

$$\rho(t)=\sum\limits_m\,\mid m(t)>\,\mathcal{P}_m\,<m(t)\mid$$

Cherchons à quelle équation du mouvement satisfait l'opérateur $\rho$ . A cet effet, il y a lieu de remarquer que les nombres $\mathcal{P}_m$ sont constants au cours du temps, car aussi longtemps qu'il n'est pas l'objet d'une mesure expérimentale, le système ne peut changer d'état d'évolution et passer d'un état d'évolution $\mid m(t)>$ à un autre état $\mid n(t)>$ . Par ailleurs, les évolutions des kets et des bras sont régies par les équations conjuguées :

$$i\hbar~\,{{d}\over{dt}}\,\mid m(t)>=H\,\mid m(t)>~~~~~\mathrm{et}~~~~~ -i\hbar~\,{{d}\over{dt}}\,<m(t)\mid =<m(t)\mid \,H$$

de telle sorte que :

$$i\hbar~\,{{d\rho}\over{dt}} = \sum\limits_m\, i\hbar~\left({{d\mid m>}\over{dt}}\,\mathcal{P}_m\,<m\mid - \mid m>\,\mathcal{P}_m\,{{d<m\mid }\over{dt}}\right)$$

$$i\hbar~\,{{d\rho}\over{dt}} = \sum\limits_m\, \left(H\,\mid m>\,\mathcal{P}_m\,<m\mid - \mid m>\,\mathcal{P}_m\,<m\mid \,H\right)$$

$$i\hbar~\,{{{d\rho}\over{dt}}} = H\,\rho - \rho\,H$$

$$\begin{array}{\vert ccc\vert} \hline & & ~ \\ ~ & i\hbar\,\s... ...er{dt\strut}$} = -[\rho,H] & ~ \\ & & ~ \\ \hline \end{array}$$

Ainsi l'opérateur densité évolue, tout comme les états, d'une façon parfaitement détermi-niste, et se trouve déterminé à chaque instant à partir de son expression initiale. Il est intéressant de noter l'analogie formelle entre l'équation précédente et l'équation classique qui régit l'évolution temporelle dans l'espace des phases et qui sera rappelée ci-après.

Pour déterminer la dépendance temporelle de l'opérateur densité quantique $\rho(t)$ , il n'est pas nécessaire d'intégrer l'équation précédente. Il suffit de se reporter à sa définition :

$$\rho(t)=\sum\limits_m\,\mid m(t)>\,\mathcal{P}_m\,<m(t)\mid$$

et d'utiliser l'opérateur unitaire d'évolution temporelle des états :

$$\mid m(t)>=\mathcal{U}(t-t_0)\,\mid m(t_0)>~~~~~\mathrm{et}~~~~~ <m(t)\mid =<m(t_0)\mid \,\mathcal{U}^\dagger(t-t_0)$$

d'où il résulte immédiatement :

$$\begin{array}{\vert ccc\vert} \hline & & ~ \\ ~ & \rho(t)=\m... ....\,\mathcal{U}^{-1}(t-t_0) & ~ \\ & & ~ \\ \hline \end{array}$$

La trace d'un produit de matrices est invariante dans une permutation circulaire de ses facteurs, et il en résulte :

$$\mathrm{Tr}\,\rho(t)=\mathrm{Tr}\,\rho(t_0)=1$$

Si l'état initial du système physique étudié est un cas pur :

$$\mathrm{Tr}\,\rho^2(t_0)=1~~~~~\mathrm{d'o\grave u}~~~~~\mathrm{Tr}\,\rho^2(t)=1$$

d'où cette conséquence importante :

Toute évolution temporelle d'un cas pur demeure un cas pur. Autrement dit, l'équation de Schrödinger ne peut transformer un cas pur en un mélange, c'est-à-dire que toute évolution naturelle d'un système (c'est-à-dire sans observation) sous le seul effet de ses interactions avec l'environnement ne peut transformer un cas pur en un mélange (comme le fait la réduction du paquet d'ondes).