Equation de Newton

Si la particule possède également une énergie potentielle, le hamiltonien s'écrit :

$$H=\frac{\vec{P}^2}{2m}~+V(X,Y,Z)$$

et tenu compte des relations de commutation écrites dans la représentation de Schrödinger :

$$\left[X,H\right]=\frac{1}{2m}\left[X,P_x^2\right]= \frac{1}{2m}\left(P_x\left[X,P_x\right]+\left[X,P_x\right]P_x\right)$$

$$\left[X,P_x\right]=i\hbar$$

$$\left[P_x,H\right]=\left[P_x,V\right]= \frac{\hbar}{i}\,\frac{\partial V}{\partial x}$$

Les équations d'Ehrenfest s'écrivent :

$$\frac{d}{dt}\left<X\right>=\frac{1}{m}\left<P_x\right>$$

$$\frac{d}{dt}\left<P_x\right>=-\left<\frac{\partial V}{\partial x}\right>$$

Afin d'établir un lien avec la mécanique classique, on peut définir un vecteur force classique par ses composantes :

$$F_x=-\left<\frac{\partial V}{\partial x}\right>_\Psi$$

soit :

$$\vec{F}=-\left<\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,V\right>_\Psi$$

d'où on déduit, à partir des deux équations d'Ehrenfest :

$$F_x=\frac{d}{dt}\left<P_x\right>_\Psi=m\,\frac{d^2}{dt^2}\left<X\right>_\Psi$$

et pour les trois composantes :

$$\vec{F}=m\,\frac{d^2}{dt^2}\left<\vec{R}\right>_\Psi$$

Cette équation a bien la forme de l'équation de Newton.