b) Opérateurs hermitiques

Dans la suite la plupart des opérateurs que nous considèrerons seront hermitiques. Ces opérateurs hermitiques jouissent de propriétés particulières.

$\imath-$ Les valeurs propres d'un opérateur hermitique sont toujours réelles. En effet :

Si $H\mid h>=h\mid h>~~\Longleftrightarrow~~<h\mid H=h^*<h\mid$

et $<h\mid H\mid h>=h<h\mid h>=h^*<h\mid h>$

d'où $h=h^*$ puisque $<h\mid h>\not=0$ .

$\imath\imath-$ Deux vecteurs propres $\mid h_1>$ et $\mid h_2>$ d'un même opérateur hermitique $H$ et associés à deux valeurs propres $distinctes$ $h_1\not=h_2$ sont orthogonaux. En effet :

$(<h_1\mid H)\mid h_2>=<h_1\mid (H\mid h_2>)$

ou $(h_1-H_2)<h_1\mid h_2>=0$ d'où $<h_1\mid h_2>=0$ si $h_1\not=h_2$ .

Question 1-7 : Montrer que si un opérateur hermitique $R$ satisfait une équation algébrique

$f(R)=R^n+a_1R^{n-1}+ \ldots + a_n = 0$

et si cette équation est la plus simple (de degré minimum) satisfaite par $R$ alors :

$\imath-$ R admet n valeurs propres distinctes et racines de l'équation algébrique :

$f(r)=0$

$\imath\imath-$ Tout ket $\mid f>$ est combinaison linéaire des kets propres $\mid r_i>$ de R :

$\mid f>=\sum\limits_{i=1}^{n} f_i \mid r_i>$

$\imath\imath\imath-$ Appliquez les résultats précédents aux cas particuliers : $P^2=P$ et $\sigma^2=1$ .