a) Les composantes de l'impulsion totale

Pour un système isolé, sans interaction avec d'éventuels champs de force extérieurs, l'expression classique de son énergie totale ne dépend que des variables internes du système (distances relatives entre les composantes du système) et des variables qui décrivent son mouvement (impulsion du centre de masse et rotation autour de ce centre de masse). Cette expression ne dépend pas des coordonnées $X,Y,Z$ de ce centre de masse et donc l'opérateur quantique hamiltonien $H$ n'en dépend pas non plus. Pour un tel système l'espace est homogène et l'expression de son hamiltonien est invariante par translation de telle sorte que :

$$H_d~=~\mathcal{T}\,H\,\mathcal{T}^{-1}~\equiv~H$$

et pour une translation infinitésimale (avec $\varepsilon\ll 1$ ) :

$$\mathcal{T}=\mathcal{T}_{\vec{u}}(\varepsilon)=1-\frac{i}{\hbar}\,\varepsilon\,P_u$$

$P_u$ désignant la composante dans la direction $\vec{u}$ de l'impulsion totale du système :

$$\left[\mathcal{T},H\right]=0~~~\longleftrightarrow~~~\left[P_u,H\right]=0~$$

Quelle que soit la direction $\vec{u}$ , la composante $P_u$ est une constante du mouvement, et en particulier :

$$\left[P_x,H\right]=\left[P_y,H\right]=\left[P_z,H\right]=0~$$

Question 4-5 : Donnez des exemples de systèmes isolés. Ecrivez leurs hamiltoniens et montrez qu'ils sont invariants par translation. Donnez un exemple de système non isolé. Ecrivez son hamiltonien et montrez que l'impulsion totale n'est plus une constante du mouvement.