b) Les composantes du moment angulaire total

Ici encore, pour un système physique isolé dans l'espace, c'est-à-dire non soumis à des interactions avec des champs extérieurs orientés, l'espace est isotrope. Toutes les directions de l'espace sont équivalentes. Il n'existe pas d'orientation absolue dans cet espace. Par suite, l'expression mathématique classique du hamiltonien ne dépend pas de l'orientation du repère $Oxyz$ dans l'espace. Il en résulte que l'expression quantique de ce hamiltonien est invariante dans une rotation induite quelconque :

$$H_d~=~\mathcal{R}\,H\,\mathcal{R}^{-1}~\equiv~H$$

et pour une rotation infinitésimale (avec $\varepsilon\ll 1$ ) :

$$\mathcal{R}=\mathcal{R}_{\vec{u}}(\varepsilon)=1-\frac{i}{\hbar}\,\varepsilon\,J_u$$

$J_u$ désignant la composante dans la direction $\vec{u}$ du moment angulaire total du système :

$$\left[\mathcal{R},H\right]=0~~~\longleftrightarrow~~~\left[J_u,H\right]=0~$$

Quelle que soit la direction $\vec{u}$ , la composante $J_u$ est une constante du mouvement, et en particulier :

$$\left[J_x,H\right]=\left[J_y,H\right]=\left[J_z,H\right]=0~$$