Histoire d'une évolution temporelle
(décrite dans la représentation de Heisenberg)

Toute évolution temporelle d'un système n'a de réalité que si cette évolution est observée expérimentalement. Celle-ci est alors réductible à une suite d'événements observables, dont chacun est une mesure, et cette suite d'événements constitue l'inventaire d'une histoire de ce système. Par exemple, quand une particule chargée traverse une chambre à bulles, elle laisse derrière elle, le long de son passage, un chapelet de bulles. Chacune de ces bulles localise partiellement la particule, en localisant l'événement où celle-ci a interagi avec le liquide de la chambre. Cet événement a une date $t$ et constitue ici une mesure des observables de position $X,Y,Z$ . Pour adopter une notation plus générale, ces observables seront désignées globalement $A$ . Le volume de la bulle définit ici le domaine $\mathbb{A}$ des valeurs propres de $A$ non exclues. A cette mesure, le formalisme associe le projecteur $P_\mathbb{A}$ :

$$P_\mathbb{A}=\sum\limits_{a\in\mathbb{A}}\,\mid a><a\mid$$

la somme portant sur tous les vecteurs d'une base du sous-espace associé aux valeurs $a\in\mathbb{A}$ .

Considérons donc à présent une suite de tels événements apparus aux instants successifs $t_0=0,t_1,t_2,\ldots$ etc, et adoptons la représentation de Heisenberg de telle sorte qu'entre deux mesures consécutives le vecteur d'état demeure constant. Par contre, les observables mesurées sont fonction du temps :

$$A_H = A(t) = \mathcal{U}^{-1}(t)\,A_S\,\mathcal{U}(t)$$

Ces mesures successives peuvent en général concerner des observables différentes notées $A_1,A_2,\ldots$ etc. De toute manière, à chacune de ces mesures sera associé un projecteur qui, dans la représentation de Heisenberg a pour expression simplifiée :

$$P(t_i) = \mathcal{U}^{-1}(t_i)\,P_i\,\mathcal{U}(t_i) = P_i\hspace{-.32cm}/\,$$

avec :

$$P(t_i) = \sum\limits_{a\in\mathbb{A}_i}\,\mid a><a\mid$$

en notant $t_i$ l'instant où la mesure de $A_i$ a été effectuée. L'histoire des événements successifs considérés ci-dessus peut donc être définie par le symbole simple $\mathbb{A}_1,\mathbb{A}_2,\ldots$ et nous nous proposons de déterminer la probabilité de réalisation d'une telle histoire.

Si $\mid \Psi>$ = $\mid \Psi_0>$ représente l'état initial du système et $\mid \Psi_i>$ le ket état normalisé consécutif à la mesure effectuée à l'instant $t_i$ , nous obtenons successivement :

$$\mid \Psi_1>=\frac{P_1\hspace{-.32cm}/\,\,\mid \Psi>}{<\Psi\mid \... ...{et}~~~\mathcal{P}r(\mathbb{A}_1)=<\Psi\mid \,P_1\hspace{-.32cm}/\,\,\mid \Psi>$$

et de même pour la deuxième mesure :

$$\mid \Psi_2>=\frac{P_2\hspace{-.32cm}/\,\,\mid \Psi_1>}{<\Psi_1\m... ...~~~\mathcal{P}r(\mathbb{A}_2)=<\Psi_1\mid \,P_2\hspace{-.32cm}/\,\,\mid \Psi_1>$$

d'où :

$$\mathcal{P}r(\mathbb{A}_2)= \frac{<\Psi\mid \,P_1\hspace{-.32cm}/... ...1\hspace{-.32cm}/\,\,\mid \Psi>}{<\Psi\mid \,P_1\hspace{-.32cm}/\,\,\mid \Psi>}$$

et donc pour deux mesures consécutives :

$$\mathcal{P}r(\mathbb{A}_1-\mathbb{A}_2)= \mathcal{P}r(\mathbb{A}_... ...P_1\hspace{-.32cm}/\,\,P_2\hspace{-.32cm}/\,\,P_1\hspace{-.32cm}/\,\,\mid \Psi>$$

ou encore en injectant l'opérateur unité :

$$<\Psi\mid \,P_1\hspace{-.32cm}/\,\,P_2\hspace{-.32cm}/\,\,{\mathb... ...}/\,^2=P_2\hspace{-.32cm}/\,~~~~~\mathrm{et}~~~ {\mathbf 1}=\sum\,\mid i><i\mid$$

$$\mathcal{P}r(\mathbb{A}_1-\mathbb{A}_2)= \mathrm{Tr}\left[P_2\hsp... ...}/\,\,\mid \Psi><\Psi\mid \,P_1\hspace{-.32cm}/\,\,P_2\hspace{-.32cm}/\,\right]$$

ou encore plus généralement, si l'état initial est un mélange caractérisé par son opérateur densité :

$$\mathcal{P}r(\mathbb{A}_1-\mathbb{A}_2)= \mathrm{Tr}\left(P_1\hsp... ..._2\hspace{-.32cm}/\,\,\rho\,P_2\hspace{-.32cm}/\,\,P_1\hspace{-.32cm}/\,\right)$$

Ces dernières expressions se généralisent immédiatement au cas d'un nombre quelconque de mesures successives et affectent chacune de ces histoires possibles de sa probabilité de réalisation. Notons toutefois que chacune des mesures intermédiaires ne peut porter que sur un ensemble de mesures compatibles, c'est-à-dire un ensemble d'observables qui commutent.