La précession de Larmor

Quand un système physique, un atome par exemple, doté d'un moment angulaire total $\vec{J}$ , d'un rapport gyromagnétique $\gamma$ et d'un moment magnétique intrinsèque $\overrightarrow{\mathcal{M}}~=~\gamma\,\vec{J}$ est plongé dans un champ magnétique extérieur uniforme $\vec{B}$ , ce moment magnétique $\overrightarrow{\mathcal{M}}$ tourne autour de la direction de $\vec{B}$ avec une vitesse angulaire constante $\omega~=~-\gamma\,B$ .

L'étude de ce phénomène présente un double intérêt. D'une part elle constitue une application directe du formalisme quantique, d'autre part elle indique pourquoi et comment la physique classique peut représenter par des vecteurs des grandeurs physiques telles que $\vec{J}$ et $\overrightarrow{\mathcal{M}}$ qui en fait doivent être représentées par des opérateurs quantiques.

L'explication quantique du phénomène est immédiate. En effet, l'expression classique de l'énergie d'interaction fournit l'expression quantique du hamiltonien dans l'espace des états de spin de l'atome :

$$H = -\overrightarrow{\mathcal{M}}\cdot\vec{B} ~=~ -g\,\gamma\,\vec{J}\cdot\vec{B} ~=~ -g\,\gamma\,B\,J_z$$

en choisissant la direction de $\vec{B}$ pour celle de l'axe $O\vec{z}$ . L'opérateur d'évolution temporelle :

$$\mathcal{U}(t-t_0) = e^{-\frac{i}{\hbar}\,H\,(t-t_0)} ~=~ e^{\frac{i}{\hbar}\,g\,\gamma\,B\,(t-t_0)\,J_z}$$

peut être considéré comme un opérateur de rotation autour de l'axe $O\vec{z}$ , puisque $J_z$ désigne la composante selon cet axe du moment angulaire total de l'atome dans son référentiel propre :

$$\mathcal{U}(t-t_0) = e^{-\frac{i}{\hbar}\,\theta\,J_z} ~=~ \mathcal{R}_z(\theta)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{avec}~~~~~~~~~~\theta~=~-g\,\gamma\,B\,(t-t_0)$$

Il en résulte bien que l'état de spin du système et donc son orientation dans l'espace, tourne autour de la direction de $\vec{B}$ :

$$\mid K(t) > = \mathcal{R}_z[\omega\,(t-t_0)]\,\mid K(t_0) >$$

avec la vitesse angulaire :

$$\omega = -g\,\gamma\,B$$

La transposition classique de cette étude quantique consiste à considérer un grand nombre de systèmes identiques et à utiliser les équations de Ehrenfest et donc à n'examiner que l'évolution temporelle des valeurs moyennes.

A chaque instant $t$ , quand le système est dans l'état $K(t)$ , on définit par ses composantes le vecteur classique :

$$\vec{\mathcal{J}} = \vec{\mathcal{J}}~[K(t)] ~=~ < K(t) \mid \vec{J} \mid K(t) >$$

dont l'évolution temporelle est régie par les équations d'Ehrenfest :

$$i\hbar\,\frac{d}{dt}\,<K(t) \mid \vec{J} \mid K(t) > = <K\mid \left[\vec{J},H\right]\mid K>$$

Si $H_0$ désigne le hamiltonien dans le référentiel propre et en absence de champ :

$$H = H_0 - \overrightarrow{\mathcal{M}}\cdot \vec{B} ~=~ H_0-g\,\gamma\,\vec{J}\cdot\vec{B}$$

Si seul $\vec{B}$ oriente l'espace, celui-ci est isotrope en absence de champ et :

$$\left[\vec{J},H_0\right] =$$ 0

de telle sorte que, par exemple pour la composante $x$ :

$$\begin{array}{ccl} \left[J_x,H\right] &=& -\gamma\,\left[J_x,... ...,g\,\gamma\,\left(\vec{B}\wedge\vec{J}\right)_x \\ \end{array}$$

et plus généralement :

$$\left[\vec{J},H\right] = -i\hbar\,g\,\gamma\,\vec{B}\wedge\vec{J}$$

de telle sorte que les équations de Ehrenfest s'écrivent :

$$i\hbar\,\frac{d}{dt}\,<K(t) \mid \vec{J} \mid K(t) > = -i\hbar\,g\,\gamma\,<K\mid \left(\vec{B}\wedge\vec{J}\right)\mid K>$$

ou encore, en introduisant le vecteur classique moment angulaire $\vec{\mathcal{J}}$ :

$$\frac{d}{dt}\,\vec{\mathcal{J}}(t) = -g\,\gamma~\vec{B}\wedge\vec{\mathcal{J}}(t)$$

De cette équation classique on déduit immédiatement :

$$\frac{d}{dt}\,\vec{\mathcal{J}}(t) = \vec{\omega}\wedge\vec{\mathcal{J}}(t)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathrm{avec}~~~\vec{\omega}~=~-g\,\gamma\,\vec{B}$$

$$\frac{d}{dt}\,\mathcal{J}^2 = -g\,\gamma\,\vec{\mathcal{J}}\,\left(\vec{B}\wedge\vec{\mathcal{J}}\right) ~=~ 0$$ $$\frac{d}{dt}\,\vec{\mathcal{J}}_z = -g\,\gamma\,\vec{B}\wedge\vec{\mathcal{J}}_z ~=~ 0$$ et l'extrêmité $M$ du vecteur $\overrightarrow{OM}~=~\vec{\mathcal{J}}$ décrit un cercle d'axe $\vec{B}$ avec la vitesse angulaire : $$\omega = -g\,\gamma\,B$$