a) Propagateur non relativiste

Tout état physique, notamment l'état d'une particule, est soumis à l'action de l'opérateur évolution temporelle $\mathcal{U}$ :

$$\mid \psi(t^\prime) > = \mathcal{U}(t^\prime-t)\,\mid \psi(t)>$$

qui s'écrit dans la représentation de Schrödinger :

$$<\vec{r}^{\,\prime}\mid \psi(t^\prime)> = \int^{+\infty}_{-\infty}\,<\vec{r}^{\,\prime}\mid \mathcal{U}(t^\prime-t)\,\mid \vec{r}>\,d^3x\,<\vec{r}\mid\psi(t)>$$

$$\psi(\vec{r}^{\,\prime},t^\prime) = i\,\int^{+\infty}_{-\infty}\,G_0(\vec{r}^{\,\prime},t^\prime;\vec{r},t)\,~\psi(\vec{r},t)~\,d^3x$$

en introduisant la fonction de Green $G_0$ encore appelée propagateur, définie par :

$$i\,G_0(\vec{r}^{\,\prime},t^\prime;\vec{r},t) = <\vec{r}^{\,\prime}\mid\,e^{-\frac{i}{\hbar}\,(t^\prime-t)\,H}\,\mid\vec{r}>$$

$H$ désignant le hamiltonien supposé indépendant du temps.

Cette fonction de Green peut être considérée comme étant l'amplitude de probabilité de localiser la particule au point $\vec{r}^{\,\prime}$ à l'instant $t^\prime$ , sachant que cette particule était localisée au point $\vec{r}$ à l'instant $t$ . Puisque ces états localisés ne sont pas normalisables, la fonction de Green est une fonction singulière. Son expression peut néanmoins être calculée en procédant comme suit :

$$i\,G_0(\vec{r}^{\,\prime},t^\prime;\vec{r},t) = \int^{+\infty}_{-\infty}\,<\vec{r}^{\,\prime}\mid\,e^{-\frac{i}{\hbar}\,(t^\prime-t)\,H}\,\mid\vec{p}>\,d^3p\,<\vec{p}\mid\vec{r}>$$

$$i\,G_0(\vec{r}^{\,\prime},t^\prime;\vec{r},t) = \int^{+\infty}_{-\infty}\,\psi_E(\vec{r}^{\,\prime},t^\prime)~\psi_E^*(\vec{r},t)~d^3p\,~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

avec :

$$\psi_E(\vec{r},t) = h^{-\frac{3}{2}}\,e^{\frac{i}{\hbar}\,(\vec{p}\cdot\vec{r}-E\,t)}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\left(E~=~\frac{\vec{p}^{\,2}}{2m}\right)$$

ou encore très explicitement :

$$i\,G_0(\vec{r}^{\,\prime},t^\prime;\vec{r},t) = h^{-3}\,\int^{+\infty}_{-\infty}\,\exp\,\frac{i}{\hbar}\,\left[\,... ...c{r}^{\,\prime}-\vec{r}) - \frac{\vec{p}^{\,2}}{2m}\,(t^\prime-t)\,\right]~d^3p$$

Pour calculer l'intégrale, on introduit la variable :

$$\vec{q} = \vec{p}\,\sqrt{\frac{\Delta t}{2m\,\hbar}}-\begin{array}{\vert c\... ...bar\,\Delta t}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{avec}~~~~\Delta t ~=~ t^\prime-t$$

et tenu compte du résultat :

$$\int^{+\infty}_{-\infty}\,e^{-i\,\vec{q}^{\,2}}\,d^3q = \left(\frac{\pi}{i}\right)^{\frac{3}{2}}$$

on obtient l'expression finale du propagateur non relativiste :

$$\begin{array}{\vert c\vert}\hline { }\\ ~~i\,G_0(\vec{r}^{\,\... ...{r}^{\,\prime}-\vec{r})^2\,\right]~~\\ { }\\ \hline \end{array}$$

La théorie du mouvement brownien démontre que la probabilité pour une particule soumise à des chocs aléatoires, de passer de la position $\vec{r}$ à l'instant $t$ , à une position $\vec{r}^{\,\prime}$ à l'instant $t^\prime$ où $t^\prime\,>\,t$ a une expression toute semblable qui s'obtient en remplaçant $i\,\Delta t$ par $\Delta t$ dans l'expression de $i\,G_0$ .