b) La diffraction de Fresnel

On utilise le dispositif expérimental schématisé sur la figure suivante et semblable à celui déjà considéré dans une question précédente^IV18.

La source $S$ émet des électrons non relativistes. Ici encore, et pour simplifier, on supposera qu'une lentille $L$ a pour effet de mettre dans la région 1 les électrons incidents dans un état d'impulsion approximativement bien déterminée $\vec{p}\,\sim\,\vec{p}_0$ et qui peut être factorisé de la façon suivante :

$$\mid \psi_1> = \mid\widetilde{p_0}> ~=~ \mid\widetilde{p_{0x}}>\times\mid\wideti... ..._{0z}}>~=~ \mid\widetilde{0}>\times\mid\widetilde{0}>\times\mid\widetilde{p_0}>$$

$\mid\widetilde{p_{0x}}>$ désignant par exemple un paquet d'ondes à une dimension semblable à ceux déjà considérés précédemment^IV19 :

$$<x\mid p_{0x}> = \int^{+\infty}_{-\infty}\,\varphi(p)\,e^{\frac{i}{\hbar}\,(p\,x -... ...c}~~~~~~~\varphi(p)~=~e^{-\scalebox{1.4}{$\frac{(p-p_{0x})^2}{4\,\Delta p^2}$}}$$

La traversée de la fente carrée de largeur $2\varepsilon$ provoque la réduction des paquets d'ondes $\mid\widetilde{p_{0x}}>$ et $\mid\widetilde{p_{0y}}>$ de telle sorte que :

$$\mid\widetilde{p_{0x}}>~~~\longrightarrow~~~\int^{+\varepsilon}_{... ...t{h}}\,\int^{+\varepsilon}_{-\varepsilon}\,\mid x>\,dx~=~\mid\widetilde{x_{0}}>$$

en faisant l'approximation :

$$<x\mid\widetilde{p_{0x}}>~\sim~<x\mid{p_{0x}}>~=~\frac{1}{\sqrt{h... ...ac{i}{\hbar}\,p_{0x}\,x}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{avec}~~~~~~~~p_{0x}~=~0$$

d'où résulte finalement, en renormalisant :

$$<x\mid \widetilde{x_0}> = \psi_2(x)~=~~\left\{\begin{array}{ccl}(2\varepsilon)^{-\frac{1}{2... ...~\begin{array}{\vert c\vert}x\\ \end{array}~>~\varepsilon\\ \end{array}\right.$$

Immédiatement à la sortie de la fente, la fonction d'onde de la particule est donc celle d'une particule approximativement bien localisée : $x\,\sim\,0$ et $y\,\sim\,0$ :

$$\mid\psi_2> = \mid\widetilde{x_0}>\times\mid\widetilde{y_0}>\times\mid\widetild... ...ft\{\begin{array}{ccl} x_0 & = & 0 \\ & & \\ y_0 & = & 0 \\ \end{array}\right.$$

Il reste à étudier l'évolution temporelle de cet état. Chacun de ces trois facteurs évolue indépendamment des deux autres puisque l'hamiltonien est celui d'une particule libre, et que les composantes de l'impulsion sont des observables qui commutent :

$$\mathcal{U}(t^\prime-t) = e^{-\scalebox{1.0}{$\frac{i}{\hbar}$}\,(t^\prime-t)\,\scalebox{1.... ...ebox{1.0}{$\frac{i}{\hbar}$}\,\scalebox{1.0}{$\frac{t^\prime-t}{2m}$}\,P_z^2}\,$$

Le troisième facteur $\mid\widetilde{p_{0z}}>$ est donc simplement multiplié par un facteur de phase. Par contre les deux autres évoluent de manière identique et cette évolution temporelle peut être décrite, avec $t=0$ , en utilisant le propagateur $G_0$ qui vient d'être défini :

$$\psi_2(t)~~~\longrightarrow~~~\psi_3(x^\prime,t^\prime) = i\,\int^{+\infty}_{-\infty}\,G_0(x^\prime,t^\prime;x,t)~\,\psi_2(x)~\,dx$$

soit encore explicitement :

$$\psi_3(x^\prime,t^\prime) = \mathrm{C}^\mathrm{te}\,\int^{+\varepsilon}_{-\varepsilon}\,e^{i\,\scalebox{1.0}{$\frac{\pi\,m}{h\,t^\prime}$}\,(x^\prime-x)^2}\,dx$$

La particule tombe sur l'écran $E$ à un instant $t^\prime~\sim~\frac{L}{v}$ et par suite :

$$\frac{\pi\,m}{h\,t^\prime}\,(x^\prime-x)^2 = \frac{\pi}{2}\,\alpha^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{avec}~~~~~~~~\alpha~=~\sqrt{\frac{2}{L\,\lambda_0}}\,(x^\prime-x)$$

$\lambda_0$ désignant la longueur d'onde associée à la particule incidente :

$$p_0\,\lambda_0~=~h$$

La distribution des points d'impact qui construisent la figure de diffraction est régie par la fonction d'onde :

$$\psi_3(x) = \mathrm{C}^\mathrm{te}\,\int^{+\varepsilon}_{-\varepsilon}~e^{i\,\frac{\pi}{2}\,\alpha^2}\,d\alpha$$

soit encore, en introduisant les intégrales de Fresnel :

$$\xi(\alpha) = \int^{\alpha}_{0}\,\cos\frac{\pi\,x^2}{2}\,dx~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \eta(\alpha) ~=~ \int^{\alpha}_{0}\,\sin\frac{\pi\,x^2}{2}\,dx$$

$$\psi_3(x^\prime) = \mathrm{C}^\mathrm{te}\,\left[\,\xi_+ - \xi_- + i\,(\eta_+-\eta_-)\,\right]$$

avec :

$$\xi_\pm = \xi(\alpha_\pm)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\eta_\pm~=~\eta(\alpha_\pm)$$

et :

$$\alpha_\pm = \sqrt{\frac{2}{L\,\lambda}}\,(\pm\,\varepsilon - y)$$

L'intensité $I(x^\prime)$ de la tache au point $M$ d'ordonnée $x^\prime$ mesure la probabilité de détection de la particule en ce point :

$$I(x^\prime) = \begin{array}{\vert c\vert}\psi_3(x^\prime)\\ \end{array}^{\,... ...athrm{te}\,\left[\,(\xi_+-\xi_-)^2 + (\eta_+-\eta_-)^2\,\right]$$

On retrouve le résultat classique qui rendait bien compte de la structure macroscopique de la tache de diffraction obtenue avec une source lumineuse. Par contre, la physique classique, qui ne fait intervenir que la structure ondulatoire de la lumière, ne peut expliquer la structure fine microscopique, constitués de multiples points d'impact localisés et bien séparés. Seule la mécanique quantique peut expliquer la coexistence de ces deux aspects : corpusculaire au niveau microscopique et ondulatoire au niveau macroscopique.