e) Observable

Pour qu'un opérateur hermitique $A$ soit une observable, il faut que l'ensemble de ses vecteurs propres constitue un système complet, c'est-à-dire une base dans l'espace des états, de telle sorte que tout vecteur $\mid f>$ de cet espace soit décomposable sur la suite des vecteurs propres de $A$ .

Question 1-8 : Soit $A$ un opérateur hermitique n'admettant qu'un nombre fini de valeurs propres : $a_1,a_2,\ldots,a_n$

$\imath-$ Montrez que A satisfait une équation algébrique que l'on écrira.

$\imath\imath-$ En utilisant un résultat antérieur, montrez que les vecteurs propres de A forment un système complet et donc que A est une observable.

Question 1-9 : Montrez que toute observable $A$ peut s'exprimer en fonction de ses valeurs propres $a$ et de ses vecteurs propres $\mid a>$ de telle sorte que :

$A=\sum\limits_a a\mid a><a\mid =\sum\limits_a \mid a>a<a\mid$

Considérez les cas où les valeurs propres a sont dégérées et appartiennent à un intervalle.