b) Une particule à spin

Considérons une particule de spin $s$ . Nous savons déjà^V1 que l'espace de ses états $\mathcal{H}$ est le produit d'un premier espace mathématique de Hilbert $\mathcal{H}^0$ dit de configuration, associé aux états localisés ou d'impulsion de cette particule, dans l'espace physique à trois dimensions, et d'un deuxième espace mathématique $\mathcal{H}^s$ à $2s+1$ dimensions associé aux états de spin de cette particule, et donc à son orientation dans le même espace physique.

$$\mathcal{H}=\mathcal{H}^0\otimes\,\mathcal{H}^s$$

Ici encore, l'ensemble des deux E.C.O.C., l'un dans $\mathcal{H}^0$ , l'autre dans $\mathcal{H}^s$ , constitue un E.C.O.C. dans $\mathcal{H}$ :

$$\begin{array}{ccccc} {\mathcal{H}}^0 & ~~~~\otimes~~~~ & {\ma... ...S}^2,S_z} & & \overbrace{X,Y,Z~~~\vec{S}^2,S_z} \\ \end{array}$$

et un état de la particule pourra être représenté par un vecteur ket tel que :

$$\mid \Psi>\,=\mid \Psi^0>\otimes\,\mid s,m>$$

ou encore, en choisissant dans ${\mathcal{H}}^0$ la représentation de Schrödinger :

$$\mid \Psi>\,=\Psi(x,y,z).\mid s,m>$$

Mais un état quelconque n'est pas nécessairement factorisable, et, par exemple pour une particule de spin $s=\frac{1}{2}$ ^V2 :

$$\mid \Psi>\,=\Psi_+(x,y,z)\,\mid +>+\Psi_-(x,y,z)\,\mid ->$$

Ici encore, une application directe du principe de Born dit que la probabilité de localiser la particule dans un élément de volume $dV$ centré sur un point $M$ , et de mesurer en même temps ($X,Y,Z$ et $S_z$ sont compatibles) $S_z=-\frac{\hbar}{2}$ a pour expression :

$$\mathcal{P}rob\left( \begin{array}{c} \hat{X},\hat{Y},\hat{Z}... ...hbar}{2}\\ \end{array}\right)= \mid \Psi_-(\vec{M})\mid ^2\,dV$$