Valeurs propres

Soient $\mid \alpha,j_1,j_2,m_1,m_2>$ les vecteurs propres communs à $A,\vec{j_1}^2,j_{1z},\vec{j_2}^2,j_{2z}$ et supposés déjà connus :

$$\mid \alpha,j_1,j_2,m_1,m_2>\,= \mid \alpha^\prime,j_1,m_1>\otimes\,\mid \alpha^{\prime\prime},j_2,m_2>$$

On remarque que $\vec{J}^2$ et $J_z$ commutent avec $\vec{j_1}^2$ et $\vec{j_2}^2$ . Par suite les vecteurs propres de $\vec{J}^2$ et $J_z$ sont de la forme :

$$\mid \alpha,j_1,j_2,J,M>$$

et peuvent être cherchés dans chacun des sous-espaces $\mathcal{E}^{(\alpha,j_1,j_2)}$ sous-tendus par les vecteurs $\mid \alpha,j_1,j_2,m_1,m_2>$ avec $\alpha,j_1,j_2$ bien fixés et $-j_1\leq m_1\leq j_1$ et $-j_2\leq m_2\leq j_2$ .

Nous pouvons maintenant faire deux remarques importantes :

$\imath-$ A chaque valeur de $J$ correspond une ou plusieurs séries de $2J+1$ vecteurs $\mid \alpha,j_1,j_2,J,M>$ avec :

$$-J\leq M\leq +J$$

$\imath\imath-$

$J_z=j_{1z}+j_{2z}$

$$J_z\,\mid \alpha,j_1,j_2,m_1,m_2>\,=(m_1+m_2)\,\mid \alpha,j_1,j_2,m_1,m_2>$$

Cette seconde remarque nous montre que :

$$M=m_1+m_2$$

Nous connaissons donc toutes les valeurs propres $M$ de $J_z$ et leur ordre de dégénérescence. Ces valeurs propres peuvent être classées par valeurs décroissantes en indiquant sous chacune son ordre de dégénérescence. Soit, par exemple, dans le cas où $j_2\leq j_1$ :

$$\begin{array}{c\vert cccccccc} ~~~M~~~ & ~~-j_1-j_2~~ & ~~\ld... ...ots & 2j_2+1 & \ldots & 2j_2+1 & \ldots & 2 & 1 \\ \end{array}$$

La valeur maximale de $M$ est $j_1+j_2$ . C'est donc également celle de :

$$J_\mathrm{max}=j_1+j_2$$

A chaque valeur de $J$ , en commençant par la plus grande, correspond une série de $2J+1$ valeurs $M$ avec $-J\leq M\leq +J$ conformément à la remarque $\imath-$ précédente. Il en résulte que les valeurs successives de $J$ sont les suivantes :

$$j_1-j_2~~,~~ \ldots~~ ,~~ j_1-j_2+1~~,~~ \ldots ~~,~~j_1+j_2-1 ~~,~~ j_1+j_2$$

$\mid j_1-j_2\mid ~\leq~ J ~\leq~ j_1+j_2$

et qu'aucune de ces valeurs de $J$ n'est dégénérée.

Dans chacun des sous-espaces associés à une valeur de $\alpha$ bien déterminée, un seul vecteur correspond à un couple de valeurs $J,M$ : le vecteur $\mid \alpha,j_1,j_2,J,M>$ . Les observables $\vec{J}^2$ et $J_z$ peuvent donc remplacer les observables $j_{1z}$ et $j_{2z}$ . Nous obtenons donc deux E.C.O.C. et les bases correspondantes :

$$\begin{array}{ccc} \mathrm{E.C.O.C.} & ~~~~~~~~~~~~ & \mathrm... ...2~J_z & ~~~~~~~~~~~~ & \mid \alpha,j_1,j_2,J,M> \\ \end{array}$$

En fait ici les valeurs $j_1$ et $j_2$ sont supposées bien déterminées et constantes.