Addition ou couplage des moments angulaires

En général, l'espace est isotrope pour le système étudié. Il en résulte que son hamiltonien commute avec les opérateurs de rotation et donc avec les composantes du moment total $\vec{J}$ :

$$\left[H,\vec{J}\right]=0$$

On est donc amené à rechercher les fonctions propres de $H$ parmi celle de $\vec{J}^2$ et $J_z$ . Pour une particule de spin nul ($s=0$ ) :

$$\vec{J}=\vec{\ell}$$

mais, en général $\vec{J}$ ne se réduit pas à $\vec{\ell}$ . Déjà pour une particule de spin $s\not=0$ :

$$\vec{J}=\vec{j}=\vec{\ell}+\vec{s}$$

et pour un système constitué de plusieurs particules de moments angulaires $\vec{j}_i$ :

$$\vec{J}=\sum\limits_i\,\vec{j}_i$$

Dans le cas particulier de deux particules de moments angulaires $j_1$ et $j_2$ , on est donc amené à résoudre le problème suivant : connaissant les valeurs propres et les fonctions propres des moments angulaires partiels $\vec{j_1}^2,j_{1z}$ et $\vec{j_2}^2,j_{2z}$ , en déduire les valeurs propres et les fonctions propres de $\vec{J}^2$ et $J_z$ avec :

$$\vec{J}=\vec{j_1}+\vec{j_2}$$

Les observables $\vec{j_1}^2,j_{1z},\vec{j_2}^2,j_{2z}$ commutent deux à deux, mais, en général, ne suffisent pas pour former un E.C.O.C. Pour cela il faut leur ajouter d'autres observables qui seront notées ici globalement $A$ . Par ailleurs on remarque :

$$\vec{j_1}^2=j_1\,(j_1+1)\,\hbar^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \mathrm{et}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\vec{j_2}^2=j_2\,(j_2+1)\,\hbar^2$$