Particules de spin entier

Pour un ensemble de particules identiques et de spin entier, la fonction d'onde globale $\Psi$ doit être symétrique, c'est-à-dire invariante sous l'effet de n'importe quelle permutation induite $\mathcal{P}$ , et donc telle que :

$$\mathcal{P}\,\mid \Psi> = \mid \Psi>$$

Ici encore, si $\mid \alpha>,\mid \beta>,\ldots,\mid \omega>$ désignent une suite d'états à une particule, le ket :

$$\mid \Psi> ~=~ \mid \alpha>\otimes\,\mid \beta>\otimes\,\ldots\otimes\,\mid \omega>= \mid (\alpha,\beta,\ldots,\omega)>$$

qui représente un état du système global dans lequel la première particule est dans l'état $\mid \alpha>$ , la seconde dans l'état $\mid \beta>$ ,... la $\mathrm{i}^{\mathrm{i\grave{e}me}}$ dans l'état $\mid \omega>$ :

$$\Psi(\vec{r}_1,\ldots,\vec{r}_n) ~=~ <\vec{r}_1,\ldots,\vec{r}_n\... ...arphi_\alpha(\vec{r}_1).\varphi_\beta(\vec{r}_2)\ldots\varphi_\omega(\vec{r}_n)$$

ne peut correspondre à un état physique, car cet état n'est pas symétrique. Effectuer une permutation $P$ sur les particules revient à effectuer une permutation sur les états :

$$P=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ i & j & k... ... & \beta^\prime & \gamma^\prime & \ldots & \omega^\prime \\ \end{array}\right)$$

et le nouveau ket ainsi obtenu :

$$\mathcal{P}\,\mid (\alpha,\beta,\ldots,\omega)> = \mid (\alpha^\prime,\beta^\prime,\ldots,\omega^\prime)>$$

représente le même état physique.

Ainsi, l'état physique semblerait pouvoir être représenté par une combinaison linéaire quelconque du type :

$$\mid \Psi>=\sum\limits_{\mathcal{P}}\,C(\mathcal{P})\,\mathcal{P}\, \mid (\alpha,\beta,\ldots,\omega)>$$

$C(\mathcal{P})$ désignant une constante dépendant de $\mathcal{P}$ .

Le principe de Pauli, déjà justifié précédemment, lève cet arbitraire (cf. dégénérescence d'échange) et précise que la seule combinaison linéaire valable est celle qui a pour effet de rendre $\mid \Psi>$ symétrique, c'est-à-dire invariant sous l'effet des permutations induites. On vérifie aisément que cette combinaison symétrique est celle qui est obtenue dans le développement du même déterminant de Slater que précédemment :

$$\Psi_S(\vec{r}_1,\ldots,\vec{r}_n)=\frac{1}{\sqrt{n!}}~ \begi... ...}}\, \begin{array}{\vert c\vert}\varphi_i(\vec{r}_j)\end{array}$$

en convenant toutefois que dans le développement du déterminant, chaque terme soit précédé du signe +, ce qui revient à écrire :

$$\mid \Psi_S>=\sum\limits_{\mathcal{P}}\,\mathcal{P}\,\mid (\alpha,\beta,\ldots,\omega)> ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathcal{P}\,\in\,\mathbb{P}_n$$