Remarque

On remarque immédiatement que cette probabilité n'est pas en général factorisable^V21, comme il avait été supposé précédemment, quand on avait écrit :

$$\mathcal{P}(AB\,\vert\,a,b,\lambda)= \mathcal{P}_1(A\,\vert\,a,\lambda)\,.\,\mathcal{P}_2(B\,\vert\,b,\lambda)$$

Les probabilités de transition, pour des états à une particule, peuvent être calculées, en utilisant les opérateurs de rotation : $$\mathcal{R}_u(\theta)=e^{-\frac{i}{\hbar}\,\theta\,s_u}= e^{-i\,\frac{\theta}{2}\,\sigma_u}$$ $$\mathcal{R}_u(\theta)= \cos\frac{\theta}{2}\,\mathbf{1}-i\,\sigma_u\,\sin\frac{\theta}{2}$$ et donc en particulier : $$\mathcal{R}_y\left(\frac{\pi}{2}\right)= \frac{1}{\sqrt{2}}\,(\ma... ...ac{1}{\sqrt{2}}\,\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right)$$

$$\mathcal{R}_z(\theta_a)= \cos\frac{\theta_a}{2}\,\mathbf{1}-i\,\s... ...\frac{\theta_a}{2}} & 0 \\ 0 & e^{i\,\frac{\theta_a}{2}} \\ \end{array}\right)$$

On en déduit immédiatement :

$$\mid +>_x=\mathcal{R}_y\left(\frac{\pi}{2}\right)\,\mid +>_z=\fra... ...->_z=\frac{1}{\sqrt{2}}\, \left(\begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ \end{array}\right)$$

$$\mid +>_a=\mathcal{R}_z(\theta_a)\,\mid +>_x=\frac{1}{\sqrt{2}}\,... ... e^{-i\,\frac{\theta_a}{2}} \\ e^{i\,\frac{\theta_a}{2}} \\ \end{array}\right)$$

d'où résulte finalement :

$${ }_a\!<+\mid +>_x=\cos\frac{\theta_a}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{ }_a\!<+\mid ->_x=-i\,\sin\frac{\theta_a}{2}$$

$${ }_a\!<-\mid +>_x=-i\,\sin\frac{\theta_a}{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{ }_a\!<-\mid ->_x=\cos\frac{\theta_a}{2}$$

et en reportant ces résultats partiels dans les expressions des probabilités :

$$\begin{array}{ccl} \mathcal{P}(++\,\mid \,a,b) & = & \scalebo... ...,\sin\scalebox{1.4}{$\frac{\theta_a}{2}$} \right)^2 \end{array}$$

et en procédant de même pour les autres termes :

$$\mathcal{P}(++\,\mid \,a,b) = \frac{1}{2}\,\sin^2 \frac{\theta_a-\theta_b}{2} = \mathcal{P}(-\,-\,\mid \,a,b)$$

$$\mathcal{P}(+-\,\mid \,a,b) = \frac{1}{2}\,\cos^2 \frac{\theta_a-\theta_b}{2} = \mathcal{P}(-+\,\mid \,a,b)$$

$$E(a,b)=\sin^2\frac{\theta_a-\theta_b}{2}-\cos^2 \frac{\theta_a-\theta_b}{2} = -\cos(\theta_a-\theta_b)$$

et en choisissant les angles :

$$\theta_a=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\theta_{a^\prime}=\frac{\pi}{2}... ...\theta_b=\frac{\pi}{4}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \theta_{b^\prime}=-\frac{\pi}{4}$$

on obtient finalement :

$$E(a,b)+E(a,b^\prime)+E(a^\prime,b)-E(a^\prime,b^\prime) = -3\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{3\pi}{4} = -2\sqrt{2}$$

Le module de cette quantité est supérieure à 2, et l'inégalité de Bell est donc bien violée.