Principe de Fermat

Selon ce principe, le chemin effectivement suivi par la lumière, pour aller d'un point $A$ à un point $B$ dans un milieu d'indice $n(x,y,z)$ , est celui qui minimise le chemin optique défini par l'intégrale curviligne :

$$I(C) = \int_{A}^{B}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm}~n(x,y,z)\,d\ell ~=~ c~\int_{A}^{B}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm}~\frac{d\ell}{u}$$

$u$ désignant la vitesse locale de phase. Avec $u\,=\,\scalebox{1.4}{$\frac{c}{n}$}$ d'où :

$$n\,d\ell~=~c~\frac{d\ell}{u}~=~c\,dT$$

$dT$ désignant le temps nécessaire à la lumière pour parcourir la distance $d\ell$ avec sa vitesse locale $u$ :

$$I(C) = \int_{A}^{B}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm}~c\,dT ~=~ c\,T(AB)$$

$T(AB)$ désignant la durée du parcours le long de la courbe $C$ pour aller de $A$ à $B$ .

Ainsi, le chemin suivi par la lumière est celui pour lequel la durée du trajet est minimum :

$$I(C~\mathrm{effectif}) = I(T~\mathrm{minimum})$$