Principe de Huygens

L'optique ondulatoire obéit au principe de Huygens qui, par exemple, permet de détermi-ner la grandeur du champ électromagnétique créé en un point $B$ , par la lumière issue d'une source $A$ après traversée d'un trou percé dans un écran.

Le champ créé en $M$ par la source $A$ a pour grandeur : $$F(AM) ~=~ C_A~\frac{1}{\begin{array}{\vert c\vert}AM\\ \end{array}}~e^{ik\,{\vert AM\vert}}$$ $k\,=\,\scalebox{1.4}{$\frac{2\pi}{\lambda}$}$ désignant le nombre d'ondes.

Chaque point $M$ est alors considéré comme une source intermédiaire qui produit au point $B$ un champ de grandeur :

$$F(MB) = C_M~\frac{1}{\begin{array}{\vert c\vert}MB\\ \end{array}}~e^{ik\,\vert BM\vert}$$

les constantes $C_A$ et $C_M$ ne dépendant que de l'intensité de la source $A$ .

Le principe de Huygens, encore appelé principe des sources indépendantes, permet alors de calculer directement l'amplitude du champ créé par la source $A$ au point $B$ :

$$F(AB) = \int~dM\,F(AM)\,F(MB)$$

$$F(AB) = \int~dM~\frac{C_A\,~C_M}{\begin{array}{\vert c\vert}AM\\ \end{arr... ...gin{array}{\vert c\vert}MB\\ \end{array}}~e^{ik\,(\vert AM\vert+\vert MB\vert)}$$

l'intégrale étant étendue à tous les points $M$ de la surface du trou. L'intensité lumineuse au point $B$ s'en déduit :

$$\begin{array}{\vert c\vert}\hline { }\\ ~~I(AB) ~=~ \begin{ar... ...t c\vert}F(AB)\\ \end{array}^{\,2}~~\\ { }\\ \hline \end{array}$$

L'étude précédente peut être généralisée en considérant une suite de surfaces fictives ou matérielles (dioptres, lentilles,... etc) $S_1,S_2,\ldots,S_i,\ldots,S_n$ parcourues respectivement par les points $M_1,M_2,\ldots,M_i,\ldots,M_n$ .

Le principe de Huygens postule que l'amplitude du champ créé en un point $B$ par la source $A$ peut s'écrire :

$$F(AB) = \int_{S_1}~dM_1~\ldots~\int_{S_i}~dM_i~\ldots~\int_{S_n}~dM_n~F(AM_1)~\ldots~F(M_i M_{i+1})~\ldots~F(M_nB)$$

En considérant des surfaces $S_i$ de plus en plus voisines, on peut définir un nombre d'onde local en chaque point $M_i$ de telle sorte qu'en introduisant la fréquence $\omega\,=\,2\pi\,\nu$ de la lumière qui est une quantité indépendante du milieu :

$$k_i = \frac{2\pi}{\lambda_i} ~=~ \frac{\omega}{T_i}~~~~~~~~~~~~\mathrm{... ...ray}{\vert c\vert}M_i\,M_{i+1}\\ \end{array} ~=~ \omega\,\cdot\,T(M_i\,M_{i+1})$$

$T(M_i\,M_{i+1})$ désignant la durée du trajet $M_i\,M_{i+1}$ de telle sorte que finalement :

$$F(AB) = \int_{S_1}~dM_1~\ldots~\int_{S_i}~dM_i~\ldots~\int_{S_n}~dM_n~ \f... ..._i\,M_{i+1}\\ \end{array}~\ldots~\begin{array}{\vert c\vert}M_nB\\ \end{array}}$$

L'intensité créée au point $B$ par la source $A$ peut enfin s'écrire symboliquement :

$$I(AB) ~=~ \begin{array}{\vert c\vert}F(AB)\\ \end{array}^{\,2} = \begin{array}{\vert c\vert}\,\scalebox{1.4}{$\int$}~d(\mathrm{chemins})~e^{i\omega\,T(\mathrm{chemins})}\\ \end{array}^{\,2}$$

Dans l'intégrale, tous les chemins possibles contribuent à la grandeur du champ au point $B$ par un terme de module unité et dont la phase est l'intégrale de temps calculée classiquement pour chacun de ces chemins possibles.