Remarque :

Le calcul des intégrales de chemin précédentes parait une entreprise formidable. Heureusement, hormis les situations microscopiques qui font intervenir les dimensions atomiques, les valeurs de $\mathcal{S}(C)$ , comparées à $\hbar$ , sont gigantesques et varient rapidement ( $dS\,\gg\,\hbar$ ) pour deux chemins $C_1$ et $C_2$ très voisins, de telle sorte que ces chemins peuvent être appariés de telle manière que la différence de phase $dS$ soit égale à $\pi\,\hbar$ et que la somme de leurs contributions soit nulle.

Les seules contributions effectives à l'intégrale proviennent alors des chemins pour lesquels la phase est stationnaire, c'est-à-dire pour lesquels la dérivée s'annule. Ces chemins sont donc ceux pour lesquels l'action est extremum. Ces chemins stationnaires sont précisément les trajectoires classiques révélées par le principe de moindre action.

On notera toutefois que, contrairement à la mécanique classique des particules, plusieurs chemins stationnaires peuvent exister simultanément. C'est en particulier le cas de l'expérience des deux fentes de Young réalisées avec des électrons, pour laquelle :

$$K(S,M) ~\div~ e^{\frac{i}{\hbar}\,\mathcal{S}(C_1)} +e^{\frac{i}{\hbar}\,\mathcal{S}(C_2)} = e^{i\,\alpha_1} + e^{i\,\alpha_2}$$

avec :

$$\frac{1}{\hbar}~\mathcal{S}(C_1) = \frac{1}{\hbar}~\int_{~~}^{~~}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm} L\,d... ...c{1}{\hbar}~\int_{~~}^{~~}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm} \frac{1}{2}\,m\,v^2~dt$$

mais :

$$\int_{~~}^{~~}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm} m\,v^2~dt = m~\int_{~~}^{~~}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm} v\,d\ell$$

ce qui est l'expression du principe de Maupertuis, ou encore :

$$\frac{1}{\hbar}~\int_{~~}^{~~}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm}\frac{m\,v^2}{2}~dt = \frac{1}{2\hbar}~\int_{~~}^{~~}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm} p\,d\ell ~=~ \frac{1}{2}~\int_{~~}^{~~}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm} k\,d\ell$$

$$= \pi~\int_{~~}^{~~}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm} \frac{d\ell}{\lambda} ~=~ \frac{\omega}{2}~\int_{~~}^{~~}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm} dt$$

ce qui constitue l'expression du principe de Huygens.

De l'expression de $K(S,M)$ se déduit la structure de la figure d'interférence :

$$K(S,M) ~\div~ e^{i\,\alpha_1} + e^{i\,\alpha_2} = 2i~e^{\scalebox{0.9}{$\,i$}\,\scalebox{1.2}{$\frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}$}}~\cos\frac{\alpha_1-\alpha_2}{2}$$

$$I(M) ~\div~ \cos^2\frac{\Delta\alpha}{2} = \cos^2\left[\pi~\frac{\ell_1-\ell_2}{\lambda}\right]~~~~~~~~~~~~~~~(\Delta\alpha\,=\,\alpha_1-\alpha_2)$$

On retrouve bien les expressions familières faisant apparaître la différence $\ell_1-\ell_2$ des deux chemins $C_1$ et $C_2$ , comparée à la longueur d'onde $\lambda$ .