Principe de Feynman

On va considérer ci-après l'évolution d'une particule quantique, et pour simplifier les notations (mais seulement les notations), on la supposera placée dans un espace à une seule dimension.

Conformément aux postulats de la mécanique quantique non relativiste, l'amplitude de probabilité de localiser cette particule au point $x$ , à l'instant $t$ , sachant qu'elle aurait déjà été localisée au point $x_0$ à un instant antérieur $t_0\,<\,t$ , a pour expression :

$$A(x_0,t_0\,\to\,x,t) ~\div~ <x\mid\,\mathcal{U}(t-t_0)\,\mid x_0>$$

le signe de proportionnalité $\div$ tenant compte de la non renormalisabilité des états propres associés à des valeurs propres continues.

Dans la représentation de Heisenberg :

$$\mid x,t> = \mid x,t >_H ~=~ \mathcal{U}^{-1}(t-t_0)\,\mid x>$$

d'où :

$$\mid x_0,t_0> = \mid x_0>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{et}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<x,t\mid ~=~<x\mid\,\mathcal{U}(t-t_0)$$

Il en résulte immédiatement :

$$A(x_0,t_0\,\to\,x,t) ~\div~ <x,t\mid x_0,t_0>$$

Il y a lieu de faire ici deux remarques utiles pour la suite :

$\imath-$ L'expression de l'opérateur unité dans la représentation de Heisenberg se déduit immédiatement de son expression dans la représentation de Schrödinger :

$$\mathbf{1} = \int\,\mid x>\,dx\,<x\mid ~=~ \mathcal{U}^{-1}\,\mathbf{1}~\,\mathcal{U} ~=~ \int\,\mid x,t>\,dx\,<x,t\mid$$

$\imath\imath-$ L'amplitude de probabilité de localiser la particule au point $x$ à l'instant $t$ n'est rien d'autre que la fonction d'onde de Schrödinger dans sa propre représentation :

$$<x,t\mid x_0,t_0>~\div~A(x_0,t_0\,\to\,x,t) ~=~ \psi_S(x,t)$$

Grâce à l'opérateur unité, il est alors possible de décomposer l'amplitude $A$ en une somme d'amplitudes faisant intervenir toutes les localisations possibles $x_1$ à un instant intermédiaire $t_1$ en écrivant : $$<x,t\mid x_0,t_0> = <x,t\mid \,\mathbf{1}\,\mid x_0,t_0>$$ soit explicitement :

$$<x,t\mid x_0,t_0> = \int_{-\infty}^{+\infty}\,<x,t\mid x_1,t_1>\,dx_1\,<x_1,t_1\mid x_0,t_0>$$

qui peut encore s'écrire :

$$K(x,t\vert x_0,t_0) = \int_{-\infty}^{+\infty}\,K(x,t\vert x_1,t_1)\,dx_1\,K(x_1,t_1\vert x_0,t_0)$$

$$\psi_S(x,t) = \int_{-\infty}^{+\infty}\,K(x,t\vert x_1,t_1)~\psi(x_1,t_1)\,dx_1$$

L'objet mathématique $K(x,t\vert x_1,t_1)$ est le noyau d'un opérateur intégral. On voit maintenant de suite comment la décomposition précédente peut être généralisée en considérant autant d'instants intermédiaires $t_1,t_2,\ldots,t_n$ que l'on veut et en faisant apparaître toutes les localisations possibles associées à chacun de ces instants :

$$<x,t\mid x_0,t_0> = <x,t\mid~\mathbf{1}(t_n)\,\otimes\,\ldots\,\otimes\,\mathbf{1}(t_2)\,\otimes\,\mathbf{1}(t_1)\,\mid x_0,t_0>$$

$$= \int_{-\infty}^{+\infty}\,<x,t\mid x_n,t_n>\,dx_n\,<x_n,t_n\mid\,\ldots\,<x_2,t_2\mid x_1,t_1>\,dx_1\,<x_1,t_1\mid x_0,t_0>$$

Le principe de Feynman postule l'expression de l'amplitude partielle :

$$<x_{i+1},t_{i+1}\mid x_i,t_i> = \frac{1}{A}~{\scalebox{1.6}{$e$}}^{\scalebox{1.2}{$\frac{i}{\hbar... ...\int_{t_i}^{t_{i+1}}$}\hspace{-1.00cm}D\hspace{.70cm}\,\scalebox{1.0}{$L\,dt$}}$$

$A$ désignant une constante nécessaire à la renormalisation et qui reste à déterminer. On remarque que l'exposant de l'exponentielle fait apparaître l'intégrale d'action calculée sur la droite d'Univers qui joint les deux événements considérés.

En choisissant équidistants les instants $t_i$ soit : $t_{i+1}-t_i\,=\,\varepsilon~$ et en remplaçant par son expression chacune des amplitudes partielles qui figure dans l'intégrale précédente, on obtient :

$$<x,t\mid x_0,t_0> = \lim_{\varepsilon\,\to\,0}~\int~\frac{dx_1}{A_1}~\int~\frac{dx_2}... ...1.2}{$\int_{t_0}^{t}$}\hspace{-0.50cm}C\hspace{.20cm}\,\scalebox{1.0}{$L\,dt$}}$$

On notera le caractère très singulier de cette intégrale portant sur une infinité de variables $x_i$ , puisque chacune de ces variables est associée à un instant $t_i$ et que ce nombre d'instants devient infini en même temps que $\varepsilon\,\to\,0$ . Cette intégrale est calculée sur chacune des lignes d'Univers qui connecte la suite des événements $E_0(x_0,t_0)\,-\,E_1(x_1,t_1)\,-\,\ldots\,-\,E(x,t)$ . Les constantes $A_i$ désignent des constantes nécessaires à la normalisation.

L'expression intégrale précédente peut encore s'écrire symboliquement :

$$<x,t\mid x_0,t_0> = \frac{1}{N}~\int~d(\mathrm{chemins})~{\scalebox{1.6}{$e$}}^{\scalebox{1.2}{$~\frac{i}{\hbar}$}~\scalebox{1.0}{$\mathcal{S}(\mathrm{chemins})$}}$$

avec :

$$\mathcal{S}(\mathrm{chemins}) = \int_{~~}^{~~}\hspace{-.70cm}C\hspace{.30cm} L\,dt$$

ou encore plus schématiquement :

$$K(E,E_0) = \int~~{\scalebox{1.6}{$e$}}^{\scalebox{1.2}{$~\frac{i}{\hbar}$}~\scalebox{1.0}{$\mathcal{S}(E,E_0)$}}~\mathcal{D}x(t)$$

Finalement, la probabilité de la transition qui connecterait l'événement $E_0$ à l'événement ultérieur $E$ a pour expression :

$$\mathcal{P}\,(E_0\,\to\,E) = \begin{array}{\vert c\vert}K(E,E_0)\\ \end{array}^{\,2}$$