Puisque
et
constituent un E.C.O.C. leurs vecteurs propres
communs constituent une base que nous allons déterminer. Soit
une valeur propre de
:
d'où :
Puisque les normes des vecteurs
et
sont
positives ou nulles, on en déduit :
et on pose
avec
ou
. Si
il
suffit de poser
d'où
pour se ramener au
cas général :
Le système complet des vecteurs propres communs aux observables
et
est donc constitué des vecteurs
tels que :
Compte tenu des relations antérieures :
et puisque les normes des vecteurs sont toutes positives :
Pour chacun de ces deux trinomes négatifs ou nuls, la valeur de
doit être
comprise entre celles des deux racines :
et donc finalement :
Les relations précédentes impliquent :
Or, par ailleurs :
et de même avec :
Ainsi à partir d'un vecteur propre , on peut déduire la suite des vecteurs et des valeurs propres suivants :
Pour que les bornes imposées précédemment aux valeurs de
ne puissent
être franchies, il est donc nécessaire qu'il existe des valeurs
et
telles que :
Les éventualités précédemment envisagées sont donc nécessairement réalisées :
Par ailleurs, et désignant des entiers positifs ou nuls :
et donc :
En conclusion
est un entier positif ou nul, et
est un
entier positif, négatif ou nul tel que :