A) Intérêt du sujet

Pour commencer et simplifier, considérons un système physique à un paramètre, par exemple une particule classique d'énergie potentielle $V(x)$ admettant le point $x_0$ comme position d'équilibre stable. Au voisinage de $x=x_0$ , la fonction potentiel peut être développée comme suit :

$$V(x)=V(x_0)+(x-x_0)\,\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_0 + \frac{(x-x_0)^2}{2}\,\left(\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}\right)_0 +\ldots$$

Si on choisit $x=x_0$ pour origine des coordonnées et $V(x_0)$ pour origine des potentiels, on obtient :

$$V(x)=x\,\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_0 + \frac{1}{2}\,x^2\,\left(\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}\right)_0 +\ldots$$

Si l'origine est un point d'équilibre, la force exercée doit y être nulle :

$$F_0=-\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)_0 = 0$$

Ainsi, au voisinage d'une position d'équilibre stable, la fonction potentielle doit être de la forme :

$$V(x)=\frac{1}{2}\,k x^2 +\ldots$$

et la force de rappel :

$$F(x)=-\frac{\partial V}{\partial x}=-k x$$

implique que $k$ doit être positif. Un potentiel de la forme :

$$V(x)=\frac{1}{2}\,k x^2 =\frac{1}{2}\,m\omega^2 x^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(k>0)$$

s'appelle un potentiel harmonique. Cette forme de potentiel est donc très importante, puisque comme nous venons de le constater, au voisinage d'une configuration d'équilibre stable et quelle que soit la nature des forces mises en jeu, le potentiel est toujours approximativement celui d'un oscillateur harmonique. Les considérations précédentes se généralisent aisément au cas d'un système à $n$ paramètres au voisinage de sa configuration d'équilibre.