Généralisations

Cette généralisation peut s'exercer dans deux directions :

$\imath-$ La probabilité cherchée peut concerner plusieurs résultats possibles de mesure d'une même observable. Ces résultats étant exclusifs l'un de l'autre, les probabilités partielles s'ajoutent :

$$\mathcal{P}rob(\hat{A}=a_k~\mathrm{ou}~a_l)=\mathcal{P}_k+\mathcal{P}_l= \mid \Psi_k\mid ^2+\mid \Psi_l\mid ^2$$

où encore, en introduisant la projection $\mid \Psi_{kl}>$ du ket $\mid \Psi>$ dans le sous-espace associé aux valeurs propres $a_k$ et $a_l$ :

$$\mathcal{P}rob(\hat{A}=a_k~\mathrm{ou}~a_l)=<\Psi_{kl}\mid \Psi_{kl}>$$

$\imath\imath-$ L'observable mesurée admet un spectre quelconque (donc mixte) de valeurs propres :

$$a_1,a_2,\ldots,a_k,\ldots~~~~~~~~~~a^\prime\leq a\leq a^{\prime\prime}$$

chacune d'entre elles pouvant être dégénérée. Cette dégérescence est levée si on adjoint à $A$ les autres observables, notées ici globalement $\Omega$ , nécessaires pour former un E.C.O.C.

La décomposition spectrale de l'état $\Psi$ , sur lequel la mesure de $\hat{A}$ est effectuée, s'écrit alors :

$$\mid \Psi>=\sum\limits_{i}~\underset{\omega\in\Omega(a_i)}{\scale... ...da\underset{\omega\in\Omega(a)}{\scalebox{1.7}{S}}\Psi(a,\omega)~\mid a,\omega>$$

$\Omega(a_i)$ (resp. $\Omega(a)$ ) désignant l'ensemble des valeurs propres $\omega$ de $\Omega$ associées à la valeur propre dégénérée $a_i$ (resp. $a$ ), et le symbole S désignant comme précédemment une somme $\sum$ ou une intégrale, selon que la variable $\omega$ sur laquelle on somme est discrète ou continue :

$$\underset{\omega}{\scalebox{1.7}{S}}\equiv\sum\limits_{\omega_j}~~\mathrm{ou}~~\int\,d\omega$$

Ici, comme précédemment, la probabilité concernant la valeur propre $a_k$ ou un ensemble de valeurs propres $a^\prime\leq a\leq a^{\prime\prime}$ est égale à la norme de la projection du ket $\mid \Psi>$ dans le sous-espace associé aux valeurs propres concernées, ou encore égale à la somme des carrés des modules des composantes de ce vecteur projection.

La formulation générale du principe de Born s'exprime comme suit :

POSTULAT III

(Cas général d'un spectre mixte)

$$\mathcal{P}(\hat{A}=a_k)=\underset{\omega\in\Omega(a_k)}{\scalebox{1.7}{S}}\mid \Psi_k(\omega)\mid ^2$$

$$\mathcal{P}(a^\prime\leq\hat{A}\leq a^{\prime\prime})= \int_{a^\p... ...}}~da\underset{\omega\in\Omega(a)}{\scalebox{1.7}{S}}\mid \Psi(a,\omega)\mid ^2$$

$$\mathrm{avec}~~~~~~\Psi_k(\omega)=<a_k,\omega\mid \Psi>~~~~~~ \mathrm{et}~~~~~~\Psi(a,\omega)=<a,\omega\mid \Psi>$$

ou encore, en introduisant les projecteurs :

$$P(a_k)=\underset{\omega\in\Omega(a_k)}{\scalebox{1.7}{S}}~\mid a_k,\omega><a_k,\omega\mid$$

$$P(a^\prime,a^{\prime\prime})= \int_{a^\prime}^{a^{\prime\prime}} \underset{\omega\in\Omega(a)}{\scalebox{1.7}{S}}~\mid a,\omega><a,\omega\mid$$

et les projections du vecteur ket $\mid \Psi>$ représentatif de l'état initial sur lequel la mesure est effectuée :

$$\mid \Psi_k>=P(a_k)\,\mid \Psi>~~~~\mathrm{et}~~~~ \mid \Psi_{a^\prime,a^{\prime\prime}}>=P(a^\prime,a^{\prime\prime})\,\mid \Psi>$$

Ce postulat peut alors s'énoncer comme suit :

POSTULAT III

La probabilité associée à une ou (et) à un ensemble de valeurs propres d'une observable $A$ mesurée sur un état $\mid \Psi>$ est :

$\imath-$ égale à la valeur moyenne dans cet état $\mid \Psi>$ du projecteur dans le sous-espace associé à ces valeurs propres :

$$~~~~~~\mathcal{P}(\hat{A}=a_k)=<\Psi\mid P(a_k)\,\mid \Psi>\atop ... ...at{A}\leq a^{\prime\prime})= <\Psi\mid P(a^\prime,a^{\prime\prime})\,\mid \Psi>$$

$\imath\imath-$ et égale à la norme de la projection :

$$\mathcal{P}(\hat{A}=a_k)=<\Psi_k\mid \Psi_k>~~\mathrm{ou}~~ \math... ...rime})= <\Psi_{a^\prime,a^{\prime\prime}}\mid \Psi_{a^\prime,a^{\prime\prime}}>$$

dans le sous-espace associé aux valeurs propres considérées.