La représentation de Schrödinger et la fonction d'onde

Considérons le système le plus simple, celui constitué d'une seule particule de spin nul. On peut montrer que les trois observables de position $X,Y,Z$ (définies par référence à un repère $Oxyz$ ) constituent un E.C.O.C. Puisque toute valeur réelle positive ou négative est un résultat de mesure possible, on en déduit que chacune de ces trois observables admet un spectre continu s'étendant de $-\infty$ à $+\infty$ . La base constituée des vecteurs propres communs :

$$\mid x,y,z>\equiv\mid \overrightarrow{r}>~~~~~~~~~~~(-\infty\leq x,y,z\leq +\infty)$$

est la base d'une représentation, dite de Schrödinger. Ces vecteurs de base peuvent être normalisés à la manière de Dirac, de telle sorte que :

$$<x^\prime,y^\prime,z^\prime\mid x,y,z>=\delta(x^\prime-x)\,\delta(y^\prime-y)\,\delta(z^\prime-z)$$

A cette convention d'orthonormalisation correspond la relation de fermeture :

$$\mathbf{1}=\int\int\int_{-\infty}^{+\infty}~\mid x,y,z>dx\,dy\,dz<x,y,z\mid$$

de telle sorte que tout ket $\mid K>$ représentatif de l'état $K$ de la particule peut être décomposé comme suit :

$$\mid K>=\mathbf{1}~\mid K> =\int\int\int_{-\infty}^{+\infty}~\Psi(x,y,z)\mid x,y,z>dx\,dy\,dz<x,y,z\mid$$

avec :

$$\Psi(x,y,z)=<x,y,z\mid K>$$

L'état $\mid K>$ de la particule est donc parfaitement caractérisé, sur la base $\{\mid x,y,z>\}$ par la valeur de ses composantes $\Psi(x,y,z)$ dont l'ensemble constitue ce qui est appelé la fonction d'onde de la particule.

La décomposition spectrale précédente permet d'appliquer immédiatement le postulat III à la mesure d'une ou plusieurs des trois observables $X,Y,Z$ et en particulier, si $<K\mid K>=1$ :

$$\mathcal{P}r(x^\prime\leq \hat{X}\leq x^{\prime\prime}) =\int_{x^... ..._{-\infty}^{+\infty}\,dy\, \int_{-\infty}^{+\infty}\,dz~\mid \Psi(x,y,z)\mid ^2$$

Plus généralement, si la particule est dans l'état $\Psi$ représenté par la fonction d'onde $\Psi(x,y,z)$ , la probabilité de localiser la particule dans l'élément de volume indiqué a pour expression, conformément au postulat de Born : $$\mathcal{P}r\left( \begin{array}{c} x^\prime\leq \hat{X}\leq ... ...dy \int_{z^\prime}^{z^{\prime\prime}}dz~\mid \Psi(x,y,z)\mid ^2$$

Si l'élément de volume $dV=d^3 x$ est infinitésimal et entoure un point $M$ de coordonnées $x^\prime,y^\prime,z^\prime$ , cette probabilité est proportionnelle à $dV$ et s'écrit :

$$\mathcal{P}^\prime(x^\prime,y^\prime,z^\prime)\,dV=\mid \Psi(x^\prime,y^\prime,z^\prime)\mid ^2 d^3 x$$

Ainsi le carré du module de la fonction d'onde de Schrödinger est une densité de probabilité :

$$\mathcal{P}^\prime(M)=\mid \Psi(x,y,z)\mid ^2$$

et la fonction d'onde $\Psi(x,y,z)$ elle-même est une amplitude de densité de probabilité.

Supposer l'existence permanente de la particule, implique qu'à chaque instant la probabilité de la localiser n'importe où dans l'espace est égale à 1, de telle sorte que nécessairement :

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\,\mathcal{P}^\prime(M)\,dV= \int_{-\infty}^{+\infty}\,\mid \Psi(x,y,z)\mid ^2\,dV=1$$

Ainsi, nécessairement toute fonction d'onde n'est susceptible de représenter un état physique de la particule que si la condition précédente peut être satisfaite. On remarque que cette condition est seulement l'expression de la normalisation possible du vecteur ket $\mid K>$ image de l'état physique :

$$<K\mid K>=<K\mid ~\mathbf{1}~\mid K> =\int\int\int_{-\infty}^{+\infty}~<K\mid x,y,z>\,dx\,dy\,dz\,<x,y,z\mid K>$$

$$<K\mid K> =\int\int\int_{-\infty}^{+\infty}~\Psi^*(x,y,z).\Psi(x,y,z)\,dx\,dy\,dz = 1$$

Ainsi la représentation de Schrödinger constitue une représentation du formalisme de Dirac dans laquelle chaque vecteur ket $\mid \Psi>$ est représenté par une fonction d'onde image, de carré sommable.

L'espace de Hilbert $\cal{H}_{\cal{S}}$ des états devient alors un espace fonctionnel noté $L^2(\mathbf{R},dx)$ constitué des fonctions de variables réelles $x$ de carré sommable. Cet espace fonctionnel est une réalisation de $\cal{H}_{\cal{S}}$ en ce sens que chaque élément abstrait du formalisme construit dans $\cal{H}_{\cal{S}}$ y sera représenté par un objet mathématique avec lequel des calculs peuvent être effectués. Nous construirons plus tard la représentation mathématique dans $L^2(\mathbf{R},dx)$ des opérateurs et notamment des observables définies dans $\cal{H}_{\cal{S}}$ .

On montrera plus tard que les trois composantes de l'impulsion d'une particule de spin nul, $P_x,P_y,P_z$ , constituent un autre E.C.O.C. auquel correspond une autre base formée des vecteurs propres communs aux trois observables $P_x,P_y,P_z$ , dont chacune admet un spectre continu s'étendant de $-\infty$ à $+\infty$ :

$$\mid p_x,p_y,p_z>~~~~~~~~\mathrm{avec}~~~-\infty\leq p_x,p_y,p_z\leq +\infty$$

et :

$$<p_x^\prime,p_y^\prime,p_z^\prime\mid p_x,p_y,p_z>= \delta(p_x^\prime-p_x)\,\delta(p_y^\prime-p_y)\,\delta(p_z^\prime-p_z)$$

de telle sorte que, pour tout état $\mid K>$ :

$$\mid K>=\mathbf{1}\,\mid K> =\int\int\int_{-\infty}^{+\infty}~\varphi(p_x,p_y,p_z)\,\mid p_x,p_y,p_z> dp_x\,dp_y\,dp_z$$

avec $\varphi(p_x,p_y,p_z)=<p_x,p_y,p_z\mid K>$ .

et, comme précédemment, il résulte du postulat III :

$$\mathcal{P}r\left( \begin{array}{c} p_x^\prime\leq \hat{P_x}\... ...rime}^{p_z^{\prime\prime}}dp_z~\mid \varphi(p_x,p_y,p_z)\mid ^2$$

et :

$$\mathcal{P}^\prime(p_x,p_y,p_z)\,d^3 p= \mid \varphi(p_x,p_y,p_z)\mid ^2\,d^3 p$$

Ici encore, puisque toute mesure de l'impulsion de la particule fournit nécessairement un résultat :

$$\int_{-\infty}^{+\infty}\,\mathcal{P}^\prime(\overrightarrow{p})\,d^3 p= \int_{-\infty}^{+\infty}\,\mid \Psi(\overrightarrow{p})\mid ^2\,d^3 p=1$$

et, ici encore, cette condition exprime la normalisation du vecteur ket :

$$<K\mid K>=<K\mid ~\mathbf{1}~\mid K> =\int\int\int_{-\infty}^{+\infty}~<K\mid \overrightarrow{p}>\,d^3 p\,<\overrightarrow{p}\mid K>$$

$$<K\mid K>=\int\int\int_{-\infty}^{+\infty}~\varphi^*(\overrightarrow{p}).\varphi(\overrightarrow{p})\,d^3p = 1$$

Sur la base $\mid \overrightarrow{p}>$ constituée des états propres des observables impulsion $P_x,P_y,P_z$ , le même vecteur $\mid K>$ est donc représenté mathématiquement par une autre fonction $\varphi(\overrightarrow{p})$ de carré sommable, et l'ensemble de ces fonctions constitue une autre réalisation fonctionnelle, notée $L^2(\mathbf{R},dp)$ de l'espace de Hilbert $\cal{H}_{\cal{S}}$ des états.

Ainsi, le même vecteur ket $\mid K>$ (et donc l'état physique qui lui correspond) peut être caractérisé et défini, soit par une fonction $\Psi(x,y,z)$ dans l'espace $\cal{H}_{\cal{S}}$ rapporté aux états propres de position, soit par une autre fonction $\varphi(p_x,p_y,p_z)$ si le même espace $\cal{H}_{\cal{S}}$ est rapporté aux états propres d'impulsion. Ces deux représentations sont reliées par une transformation, résultant de ce changement de base, et qu'il est facile de préciser.

Pour simplifier, mais seulement l'écriture, considérons le cas d'un espace physique fictif, à une seule dimension. L'observable $X$ constitue alors à elle-seule un E.C.O.C. et on remarque :

$$\varphi(p) = <p\mid K>$$

$$= <p\mid ~\mathbf{1}~\mid K>$$

$$= <p\mid \left(\int\mid x>dx<x\mid \right)\mid K>$$

$$= \int<p\mid x><x\mid K>dx$$

soit, en introduisant les fonctions d'onde :

$$\varphi(p) = \int_{-\infty}^{+\infty}<p\mid x>\Psi(x)dx$$

généralisation au cas continu de la transformation matricielle bien connu dans un changement de base :

$$\varphi_i = \sum\limits_j~\mathcal{M}_{ij}\Psi_j~~~~~ \mathrm... ...~\longrightarrow~~i\\ x~~\longrightarrow~~j \end{array}\right.$$

Les éléments de la matrice généralisée $<p\mid x>$ seront déterminés plus tard^II4 et trouvés égaux à :

$$<p\,\mid \,x>={{1}\over{\sqrt{h}}}~e^{-{{i}\over{\hbar}}px}$$

de telle sorte que $\varphi(p)$ et $\Psi(x)$ sont reliées par des transformations de Fourier :

$$\varphi(p)={{1}\over{\sqrt{h}}}~ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{{{-i}\over{\hbar}}px}~\Psi(x)~dx$$

$$\Psi(x)={{1}\over{\sqrt{h}}}~ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{{{i}\over{\hbar}}px}~\varphi(p)~dp$$

Question 2-4 : Déduire des deux expressions précédentes que :

$$\delta(x^\prime-x)={{1}\over{\sqrt{2\pi}}}~ \int_{-\infty}^{+\infty}~e^{\pm ik(x^\prime-x)}~dk$$

Question 2-5 : Ecrire explicitement et complètement l'expression mathématique qui relie les deux fonctions :

$$\varphi(p_x,p_y,p_z)~~~~~\mathrm{et}~~~~~\Psi(x,y,z)$$

représentatives du même vecteur ket $\mid K>$ sur les deux bases :

$$\mid p_x,p_y,p_z>~~~~~\mathrm{et}~~~~~\mid x,y,z>$$