a) Le cristal de tourmaline

Considérons à nouveau l'expérience du cristal de tourmaline^II6 dans laquelle on mesure, pour chaque photon incident supposé dans un état $\Psi$ , son coefficient de transmission $P$ . En raison du caractère corpusculaire et insécable du photon, cette grandeur mesurée $P$ ne prend que deux valeurs possibles : $P=0$ si le photon est absorbé et $P=1$ si le photon traverse la lame. On en déduit que 0 et $1$ sont les seules valeurs propres de l'observable $P$ . Par ailleurs on sait que $P=0$ si l'état incident est polarisé dans la direction de l'axe optique $Ox$ et $P=1$ si cet état $\Psi$ est polarisé dans la direction orthogonale $Oy$ :

$$\begin{array}{c} \mathrm{Si}~~\mid \Psi>=\mid E_x>~~~~~~~~~P=... ...\ \mathrm{Si}~~\mid \Psi>=\mid E_y>~~~~~~~~~P=1\\ \end{array}$$

On en déduit que ces deux états de polarisation sont des états propres de $P$ correspondant à ces deux valeurs propres :

$$\begin{array}{c} \mid E_x>=\mid 0>~~~~~~~~~\mathrm{avec}~~~~P... ...>~~~~~~~~~\mathrm{avec}~~~~P\,\mid 1>=1\,\mid 1>\\ \end{array}$$

On en déduit immédiatement l'expression de l'opérateur unité $\mathbf{1}$ et de l'observable $P$ elle-même, dans l'espace des états de polarisation du photon :

$$\begin{array}{c} \mathbf{1}=\mid 0><0\mid +\mid 1><1\mid \\ ... ...mid +\mid 1>\,1\,<1\mid =\mid 1>\,1\,<1\mid =P_y\\ \end{array}$$

L'observable mesurée $P=P_y$ est donc simplement le projecteur sur l'état de polarisation orienté dans la direction $Oy$ perpendiculaire à celle de l'axe optique du cristal.

La décomposition spectrale de l'état initial quelconque de polarisation du photon :

$$\mid \Psi>=\mathbf{1}\,\mid \Psi>=\mid 0>_y<0\mid \Psi>+\mid 1>_y<1\mid \Psi>$$

peut être comparée avec la décomposition classique du champ électrique incident :

$$\overrightarrow{E} = \overrightarrow{E}_x+\overrightarrow{E}_y$$

ou encore :

$$\overrightarrow{E} = E\,\cos\alpha\,\hat{x}+E\,\sin\alpha\,\hat{y}$$

qui laisse pressentir la valeur des produits scalaires :

$$\begin{array}{ccc} {~}_y\!<0\mid \Psi> & = & \cos\alpha\\ { } \\ {~}_y\!<1\mid \Psi> & = & \sin\alpha\\ \end{array}$$

Conformément au principe de Born, on sait que si le photon incident est dans un état initial quelconque de polarisation représenté par le ket $\mid \Psi>$ :

$\imath-$ Le résultat de la mesure de $P_y$ n'est pas déterminé,

$\imath\imath-$ Les seuls résultats de mesure de $P_y$ sont les valeurs propres 0 et $1$ avec :

$$\begin{array}{ccccc} \mathcal{P}rob\left(P_y=1\right) & = & \... ...id {~}_y\!<0\mid \Psi>\mid ^2 & = & \cos^2\alpha\\ \end{array}$$

$\imath\imath\imath-~~~\mathrm{Si}~~~\mid \Psi>=\mid 0>_y~~~\Longrightarrow~~~P_y=0$

$~~~~~~~~~~\mathrm{Si}~~~\mid \Psi>=\mid 1>_y~~~\Longrightarrow~~~P_y=1$

Bien évidemment, toutes ces conclusions, fondées sur le formalisme quantique, sont bien conformes aux observations expérimentales :

Par ailleurs, conformément au principe de réduction du paquet d'ondes, chaque photon qui traverse la lame cristalline en sort polarisé dans la direction $Oy$ et dans l'état représenté par le ket $\mid 1>$ . Afin de vérifier cette conséquence du postulat IV, imaginons une deuxième lame cristalline de tourmaline parallèle à la première et dont l'axe optique est orienté dans une direction $Ox^\prime$ qui fait un angle $\theta$ avec $Ox$ .

Si $\theta = 0$ on vérifie bien que tous les photons qui ont traversé la première lame traversent également la deuxième lame. Ce fait révèle également que, en parcourant la distance qui sépare les deux lames parallèles, les photons sont demeurés dans l'état de polarisation $\mid 1>$ sans subir d'évolution temporelle.

Si $\theta$ a une valeur quelconque, la décomposition spectrale de l'état polarisé $\mid 1>_y$ selon les vecteurs propres $\mid 0>_{y^\prime}$ et $\mid 1>_{y^\prime}$ de l'observable $P_{y^\prime}$ :

$$\mid 1>_y = \mid 0>_{y^\prime}<0\mid 1>_y+\mid 1>_{y^\prime}<1\mid 1>_y$$

s'écrit encore, tenu compte des résultats précédents :

$$\mid 1>_y = \mid 0>_{y^\prime}\,\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) +\mid 1>_{y^\prime}\,\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)$$

On devra donc vérifier expérimentalement :

$$\begin{array}{ccccc} \mathcal{P}rob\left(P_{y^\prime}=1\right... ...y^\prime}\!<0\mid 1>_y\mid ^2 & = & \sin^2\theta\\ \end{array}$$

L'observable $P_{y^\prime}$ qui vient d'être considérée possédait un spectre de valeurs propres discrètes. Nous allons considérer ci-après une observable dont les valeurs propres appartiennent à un intervalle.