Mesure sur un ensemble de systèmes identiques

Il est difficile d'isoler un micro-système physique. Par suite, plutôt que de répéter $N$ fois la même mesure sur le même état d'un système unique, il est plus commode d'effectuer cette même mesure simultanément sur tout un ensemble de $N$ micro-systèmes identiques, placés initialement dans le même état $\Psi$ . On admettra que si ces micro-systèmes identiques sont au cours de la mesure également indépendants, ces deux procédés fourniront les mêmes résultats statistiques de mesure. Autrement dit, si la mesure de la même grandeur physique, $\hat{A}$ par exemple, est effectuée sur chacun de ces $N$ systèmes, la fréquence $n_k$ d'obtention d'un de ces résultats possibles : $\hat{A}=a_k$ par exemple, est égale à la fréquence d'obtention $n^\prime_k$ de ce même résultat quand $N\to\infty$ , si cette mesure est répétée $N$ fois sur un seul de ces $N$ systèmes. Cette fréquence relative est égale à la probabilité du résultat $\hat{A}=a_k$ . Plus précisément :

$$\mathcal{P}rob(\hat{A}=a_k)=\mathcal{P}_k=\lim_{N\to\infty}\,\frac{n_k}{N}= \lim_{N\to\infty}\,\frac{n_k^\prime}{N}$$

Par exemple^II10 si un faisceau de $N$ atomes d'argent de spin $\frac{1}{2}$ tous polarisés dans le même état initial de spin ( $s_x=\frac{\hbar}{2}$ par exemple) traverse un aimant de Stern et Gerlach orienté selon un axe $O\overrightarrow{z}$ , et si pour chaque atome la valeur de la composante $S_z$ est identifiée au passage, on obtient à la sortie de l'aimant un ensemble de $N$ atomes dont un pourcentage égal à $\frac{n_+}{N}=\mathcal{P}_+$ a pour valeur de $s_z=+\frac{\hbar}{2}$ et un pourcentage égal à $\frac{n_-}{N}=\mathcal{P}_-$ a pour valeur de $s_z=-\frac{\hbar}{2}$ . Cet ensemble de $N$ atomes constitue alors également un mélange d'états codés $\mid +>_z$ et $\mid ->_z$ ou plus généralement $\mid a_k>$ .

Cependant si on considère un seul des atomes appartenant au mélange précédent et donc pour lequel la mesure de $\hat{A}$ ou de $s_z$ a bien été effectuée, mais sans que le résultat de cette mesure soit connu, on sait seulement alors que l'état de cet atome est l'un de ces états $\mid a_k>$ avec la probabilité $\mathcal{P}_k$ . L'état de cet atome doit être représenté au moyen de l'ensemble virtuel des états $\mid a_k>$ affectés chacun de sa probabilité $\mathcal{P}_k$ . On dit que l'état de cet atome est lui-même un mélange.

Ainsi l'état physique d'un atome ou plus généralement d'un système physique peut être représenté dans le formalisme quantique, soit par un vecteur (cas pur) soit par un mélange dont il reste à préciser l'expression mathématique.