Différence entre cas purs et mélanges

Le mélange $\mathcal{M}$ d'états propres codés $\mid a_k>$ , ainsi réalisé après mesure de la grandeur physique $\hat{A}$ , semble équivalent à l'état codé $\mid \Psi>$ sur lequel la mesure de $\hat{A}$ a été effectuée. En effet, dire que le système est dans l'état $\mid \Psi>$ c'est affirmer que, si la mesure de $\hat{A}$ est effectuée, on trouvera le résultat $\hat{A}=a_k$ avec la probabilité $\mathcal{P}_k$ . Or, le mélange $\mathcal{M}$ d'états considéré est précisément la réalisation effective de cette prédiction. Nous allons toutefois constater que cette équivalence n'est vérifiée que pour la mesure de $\hat{A}$ . Au contraire, toute autre mesure que celle de $\hat{A}$ , par exemple celle d'une autre grandeur $\hat{B}$ , conduira en général à des résultats différents si elle est effectuée sur le mélange $\mathcal{M}$ précédent ou sur l'état $\Psi$ qui lui a donné naissance.

En effet, considérons pour simplifier ici et dans la suite, le cas où les valeurs propres sont discrètes et non dégénérées :

$$\mid \Psi>=\sum\limits_k\,\Psi_k\,\mid a_k>$$

avec :

$$\begin{array}{\vert c\vert}\Psi_k\\ \end{array}^{~2}=\mathcal{P}_k=\mathcal{P}rob(\hat{A}=a_k)$$

Si la mesure de $\hat{B}$ est effectuée sur cet état $\Psi$ :

$$\left<B\right>_\Psi=<\Psi\mid \,B\,\mid \Psi>=\sum\limits_{ij}\,\... ..._i\,\Psi_j\, <a_i\mid \,B\,\mid a_j>=\sum\limits_{ij}\,\Psi^*_i\,B_{ij}\,\Psi_j$$

$$\mathcal{P}rob_\Psi(\hat{B}=b_l)=<\Psi\mid \,P(b_l)\,\mid \Psi>= \sum\limits_{ij}\,\Psi^*_i\,\Psi_j\,<a_i\mid b_l><b_l\mid a_j>$$

$$\mathcal{P}rob_\Psi(\hat{B}=b_l)=\begin{array}{\vert c\vert}\sum\limits_j\,\Psi_j\,<b_l\mid a_j>\\ \end{array}^{~2}$$

Au contraire si cette même mesure de $\hat{B}$ est effectuée sur le mélange $\mathcal{M}$ des états codés $\mid a_k>$ affectés des probabilités $\mathcal{P}_k$ :

$$\left<B\right>_\mathcal{M}=\sum\limits_k\,\begin{array}{\vert c\v... ...d{array}^{~2}\,<a_k\mid \,B\,\mid a_k>= \sum\limits_k\,\Psi^*_k\,B_{kk}\,\Psi_k$$

$$\mathcal{P}rob_\mathcal{M}(\hat{B}=b_l)= \sum\limits_k\,\begin{array}{\vert c\vert}\Psi_k\\ \end{array}^{~2}\,<a_k\mid b_l><b_l\mid a_k>$$

$$\mathcal{P}rob_\mathcal{M}(\hat{B}=b_l)=\sum\limits_j\,\begin{array}{\vert c\vert}\Psi_j\,<b_l\mid a_j>\\ \end{array}^{~2}$$

Ainsi, si la matrice $B$ n'est pas diagonale (c'est-à-dire si $\left[A,B\right]\not=0$ ) les expressions des deux valeurs moyennes sont différentes :

$$\left<B\right>_\Psi\not=\left<B\right>_\mathcal{M}$$

et les prévisions de mesure le sont également :

$$\mathcal{P}rob_\Psi(\hat{B}=b_l)\not=\mathcal{P}rob_\mathcal{M}(\hat{B}=b_l)$$

Si la mesure est effectuée sur l'état $\Psi$ , l'expression de la probabilité est le carré d'une somme cohérente de termes, dont la valeur dépend de celles des phases relatives et dont le développement mélange les contributions des différentes composantes de l'état $\Psi$ .

Au contraire, si la mesure est effectuée sur un mélange $\mathcal{M}$ , l'expression de cette probabilité est une somme des carrés des termes précédents dont les contributions s'ajoutent alors d'une façon incohérente, c'est-à-dire sans se mélanger et sans dépendre des valeurs des phases relatives.