Distinction entre interaction et mesure

Toute mesure implique nécessairement une interaction entre le système physique étudié (le plus souvent microscopique) et un appareillage macroscopique extérieur à ce système et dont le fonctionnement est supposé régi valablement par les lois de la physique classique^II12. Toutefois, un tel couplage entre le système et l'appareil d'observation ne constitue pas une mesure. Pour qu'il le soit, il faut d'abord qu'il trouble aussi peu que possible au sens classique l'état de l'objet observé et surtout ensuite que le résultat de cette mesure soit connu.

D'une part, l'interaction n'est effective que si elle laisse des traces physiques irréversibles du processus effectué. D'autre part, la mesure n'est accomplie que lorsque ces traces ont été repérées par un observateur qui en déduit le résultat de cette mesure.

Si donc le système étudié est initialement dans un état $\mid \Psi>$ sur lequel on mesure l'observable $A$ :

$$\mid \Psi>=\sum\limits_k\,\Psi_k\,\mid a_k>$$

au terme de la première étape, le système se trouve placé, d'une façon irréversible, dans l'un des états ``$a_k$ '' et avec une probabilité $\mathcal{P}_k$ :

$$\mid \Psi>~~~\longrightarrow~~~\mid a_k>~~?~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathcal{P}_k=\begin{array}{\vert c\vert}\Psi_k\\ \end{array}^{~2}$$

Cette interaction a donc eu pour effet d'un point de vue informationnel de remplacer l'état pur ``$\Psi$ '' par un mélange statistique $\rho$ :

$$\rho=\sum\limits_k\,\mid a_k>\,\mathcal{P}_k\,<a_k\mid$$

On notera que cette première étape est un processus irréversible, spécifiquement quantique. On notera également que sa description est boiteuse puisque l'objet étudié est traité quantiquement tandis que l'appareillage macroscopique est traité classiquement.

La deuxième étape consiste à relever parmi tous ces résultats possibles, lequel a été effectivement obtenu, soit par exemple, dans le cas d'une mesure de position : où est apparue la tache sur la plaque photographique.

L'ensemble de ces deux étapes est résumé par le mécanisme de réduction du paquet d'ondes.

Il est clair que l'opérateur densité $\rho$ donne de l'état d'un système une connaissance plus réduite que le vecteur ket $\mid \Psi>$ . En effet, connaître $\rho$ c'est connaître seulement les quantités $\mathcal{P}_k$ c'est-à-dire seulement les modules des coefficients $\Psi_k$ :

$$\Psi_k=\sqrt{\mathcal{P}_k}\,e^{i\,\alpha_k}$$

où les phases $\alpha_k$ demeurent indéterminées.

Les valeurs moyennes calculées précédemment peuvent encore s'exprimer en fonction des phases :

$$\left<B\right>_\Psi= \sum\limits_{ij}\,\sqrt{\mathcal{P}_i.\mathcal{P}_j}\,B_{ij}\, e^{i\,(\alpha_j-\alpha_i)}$$

Si nous moyennons à nouveau sur les phases inconnues $\alpha_i,\alpha_j,\ldots$ tous les éléments $i\not=j$ s'annulent et on retrouve le résultat relatif à un cas pur :

$$\left<B\right>_\Psi~~~\longrightarrow~~~ \sum\limits_{ij}\,\mathcal{P}_i\,B_{ii}=\left<B\right>_\mathcal{M}$$

Nous verrons plus tard comment certaines théories de la mesure supposent qu'à la suite d'une simple interaction^II13 avec un appareillage de mesure (celle de $A$ par exemple) le vecteur ket $\mid \Psi>$ initial deviendrait :

$$\Psi~~~\longrightarrow~~~ \sum\limits_k\,\begin{array}{\vert c\vert}\Psi_k\\ \end{array}^{~2}\,e^{i\,\alpha_k}\,\mid a_k>$$

les phases $\alpha_k$ dépendant de chaque mesure individuelle, et d'une façon totalement aléatoire. Cette interprétation qui vise à évacuer les paradoxes de la mesure prête largement à contestations.

En résumé, il y a lieu de distinguer nettement :

$\imath-$ Le cas pur, décrit par un vecteur ket défini à un facteur de phase près, et auquel sont associées des probabilités seulement potentielles, c'est-à-dire qui ne seront réalisées que si une mesure est faite. Le ket $\mid \Psi>$ annonce, avec la probabilité $$\begin{array}{\vert c\vert}\Psi_l\\ \end{array}^{~2}$$ que si $\hat{A}$ est mesuré, l'état du système après mesure, devra être représenté par le ket $\mid a_l>$ .

$\imath\imath-$ Le mélange, représenté par l'opérateur $\rho$ . Si le système étudié est unique l'opérateur densité $\rho$ dit que ce système, avant toute mesure éventuelle, se trouve déjà dans un des états $\mid a_l>$ avec la probabilité $\mathcal{P}_l$ . Cette probabilité n'est nullement prévisionnelle ou conditionnée par une mesure. C'est une probabilité déjà réalisée et donc du type classique.

Si $\rho$ décrit un ensemble de $N$ systèmes identiques, l'opérateur $\rho$ dit que ces $N$ systèmes ne sont pas tous dans le même état initial, mais que :

$$n_l=N\,\mathcal{P}_l\,<\,N$$

systèmes se trouvent déjà dans l'état $\mid a_l>$ .

Il faut enfin remarquer que les états $\mid a_k>$ considérés ci-dessus sont en même temps les vecteurs propres de $A$ , et ceux qui diagonalisent l'opérateur $\rho$ . Une telle coïncidence n'est pas nécessaire.

D'une façon plus générale l'opérateur densité peut être défini par sa fonction, c'est-à-dire tel que, quelle que soit l'observable $A$ :

$$\left<A\right>=\mathrm{Tr}\,(\rho.A)$$

Comme nous le verrons, cette définition permet de déterminer la représentation matricielle $\rho_{ij}$ de $\rho$ sur une base quelconque :

$$\rho=\sum_{ij}\,\mid \,i>\,\rho_{ij}\,<j\,\mid$$

La matrice $\rho$ , hermitique comme nous l'avons déjà remarqué, peut être diagonalisée sur la base constituée de ses vecteurs propres orthonormés et prend la forme standard précédente :

$$\rho_F=\sum\limits_m\,\mid m>\,\mathcal{P}_m\,<m\mid$$