L'opérateur densité

Il est donc nécessaire de bien distinguer un état, codé par un vecteur ket, et un mélange d'états. Cette distinction doit être prise en compte par le formalisme en introduisant un nouvel être mathématique pour coder un tel mélange.

Il est peut-être utile de rappeler une dernière fois que ce mélange peut être constitué de $N$ micro-systèmes identiques dont $n_k~~(k=1,2,3,\ldots$ ) se trouvent dans l'état codé $\mid a_k>$ ou peut être constitué d'un seul micro-système dont on sait qu'il se trouve effectivement^II11, avec la probabilité $\mathcal{P}_k$ , dans l'un de ces états codés $\mid a_k>$ .

Dans l'un ou l'autre cas la situation physique sera représentée dans le formalisme par un opérateur qui caractérise la densité $\mathcal{P}_k$ des états codés $\mid a_k>$ dans le mélange. Pour cette raison, cet opérateur caractéristique est appelé l'opérateur densité du mélange et s'écrit comme une somme des projecteurs :

$$\rho=\sum\limits_k\,\mid a_k>\,\frac{n_k}{N}\,<a_k\mid = \sum\limits_k\,\mathcal{P}_k\,\mid a_k><a_k\mid$$

$$\rho=\sum\limits_k\,\mid a_k>\,\mathcal{P}_k\,<a_k\mid = \sum\limits_k\,\mathcal{P}_k\,P_k$$

Sur toute base de représentation, constituée des vecteurs $\mid i>$ orthonormés, l'opérateur densité $\rho$ sera lui-même représenté par une matrice appelée matrice densité :

$$<i\,\mid \,\rho\,\mid \,j>=\sum\limits_k\,\mathcal{P}_k\,<i\,\mid \,P(a_k)\,\mid \,j>$$

En particulier sur la base $\{\mid a_k>\}$ la matrice est diagonale :

$$<a_i\mid \,\rho\,\mid a_j>=\delta_{ij}\,\mathcal{P}_i$$

Notamment, si le mélange se réduit à un seul terme :

$$\mathcal{P}_k=\delta_{kl}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\rho=\mid a_l><a_l\mid =P(a_l)$$

ce mélange décrit le même état que le vecteur ket $\mid a_l>$ . On dit que ce mélange se réduit à un cas pur $\mid a_l>$ . Plus généralement, tout état $\Psi$ codé par le vecteur ket normé $\mid \Psi>$ peut également être codé par l'opérateur densité :

$$\rho_\Psi=\mid \Psi><\Psi\mid ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{avec}~~~~<\Psi\mid \Psi>=1$$

Avec cette nouvelle notation, les résultats précédents s'écrivent très simplement, comme suit, dans le cas général :

$$\left<B\right>_\mathcal{M}= \sum\limits_k\,\begin{array}{\vert c\... ...\,\left(\sum\limits_k\,\mid a_k>\,\mathcal{P}_k\,<a_k\mid \,B\right)\,\mid a_l>$$

$$\left<B\right>_\mathcal{M}= \mathrm{Tr}\,(\rho_\mathcal{M}\,B)=\mathrm{Tr}\,(B\,\rho_\mathcal{M})$$

et de même par ailleurs avec $P(b_l)=\mid b_l><b_l\mid$ :

$$\mathcal{P}rob_\mathcal{M}(\hat{B}=b_l)= \sum\limits_k\,\begin{array}{\vert c\vert}\Psi_k\\ \end{array}^{~2}\,<a_k\mid \,P(b_l)\,\mid a_k>$$

$$\mathcal{P}rob_\mathcal{M}(\hat{B}=b_l)= \mathrm{Tr}\,[\rho_\mathcal{M}\,.\,P(b_l)]= \mathrm{Tr}\,[P(b_l)\,.\,\rho_\mathcal{M}]$$

Ce dernier résultat peut encore s'écrire :

$$\begin{array}{ccl} \mathcal{P}rob_\mathcal{M}(\hat{B}=b_l) & ... ...<b_l\mid \,\rho\,\mid b_l>=\mathcal{P}_l^\prime \\ \end{array}$$

Cette probabilité est également celle de trouver, à l'issue d'une mesure de $\hat{B}$ , le système dans l'état pur $\mid b_l>$ . Plus généralement, la probabilité de trouver le mélange ``$\rho$ '' dans un état ``$f$ '' a pour expression :

$$\mathcal{P}ro(\rho\to f) = <f\mid \,\rho\,\mid f>$$

La matrice densité $\rho^\prime$ consécutive à la mesure de $\hat{B}$ a donc pour expression :

$$\begin{array}{ccl} \rho~~~\longrightarrow~~~\rho^\prime & = &... ...& \\ & = & \sum\limits_l\,P(b_l)\,\rho\,P(b_l) \\ \end{array}$$

et diffère donc de la matrice densité initiale :

$$\rho=\mathbf{1}\,\rho\,\mathbf{1}= \sum\limits_{l,k}\,P(b_l)\,\rho\,P(b_k)$$

Ainsi la mesure de $\hat{B}$ a pour effet d'annuler tous les éléments non diagonaux de la représentation matricielle de $\rho$ sur les états propres de $B$ .