Amplitudes et produits scalaires

La physique classique admet la possibilité de mesures idéales au cours desquelles l'état d'un système peut être seulement observé sans être perturbé. Si donc un tel système est initialement dans un état ``$\Psi$ '', il y demeurera et il est alors absurde de se demander quelle est la probabilité de le trouver, au terme de cette mesure, dans un état différent de ``$\Psi$ ''.

Au contraire, nous avons vu comment le développement de la mécanique quantique, guidé par de multiples observations expérimentales, a conduit à l'idée qu'un état physique $\Psi$ n'est pas exclusif des autres états mais qu'au contraire, cet état est un carrefour de potentialités.

En effet, si une observable $A$ est mesurée sur un tel état représenté par un vecteur ket $\mid \Psi>$ :

$$\mid \Psi>=\Psi_1\,\mid a_1>+\Psi_2\,\mid a_2>+\ldots+\Psi_k\,\mid a_k>+\ldots$$

le système sera instantanément trouvé dans l'un quelconque des états propres de $A$ , soit par exemple $\mid a_k>$ si on trouve $\hat{A}=a_k$ . Il en serait de même, si au lieu de $A$ on mesurait une autre observable $B$ :

$$\mid \Psi>=\Psi^\prime_1\,\mid b_1>+\Psi^\prime_2\,\mid b_2>+\ldots+\Psi^\prime_l\,\mid b_l>+\ldots$$

et on trouverait alors le système dans l'un des états propres de $B$ , soit par exemple $\mid b_l>$ si on trouve $\hat{B}=b_l$ .

Or, connaître l'état initial $\mid \Psi>$ c'est avoir mis le système (après filtrage) dans un état propre commun $\mid a,b,\ldots>$ à un E.C.O.C. : $A,B,\ldots$ et repérer un état final précis (après mesure) c'est mesurer un autre E.C.O.C. : $X,Y,\ldots$ . Pour simplifier les notations, nous supposerons ci-après que toutes les observables ont un spectre discret.

Sachant que le système est dans un état initial :

$$\mid \Psi>=\mid a_i,b_j,\ldots>$$

la probabilité de le trouver dans l'état :

$$\mid \varphi>=\mid x_m,y_n,\ldots>$$

est égale à la probabilité de trouver :

$$\hat{X}=x_m~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\hat{Y}=y_n~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\ldots$$

et cette probabilité est donnée par application du principe de Born :

$$\mathcal{P}rob\,(\hat{X}=x_m,\hat{Y}=y_n,\ldots)= \begin{arra... ...t c\vert}<x_m,y_n,\ldots\mid a_i,b_j,\ldots>\\ \end{array}^{~2}$$

de telle sorte que plus généralement :

La probabilité de trouver le système dans l'état $\varphi$ quand il est dans l'état $\Psi$ est égale à : $$\mathcal{P}rob\,(\Psi\to\varphi)=\begin{array}{\vert c\vert}<\varphi\mid \Psi>\\ \end{array}^{~2}$$