Remarque

$\imath-$ De ce qui précède, il résulte que le produit scalaire de deux vecteurs kets normés tel que $<\varphi\mid \Psi>$ possède une signification physique directe. Le carré de son module évalue une probabilité de transition. C'est pour cette raison que le produit scalaire lui-même s'appelle une amplitude de probabilité de transition :

$$A(\Psi\to\varphi)=<\varphi\mid \Psi>$$

$\imath\imath-$ Tout se passe comme si la mesure avait provoqué une transition de l'état $\Psi$ vers l'état $\varphi$ , notée $\Psi\to\varphi$ . En ce sens, on peut dire que la mesure a provoqué une perturbation de l'état. On notera qu'une telle perturbation n'a rien de commun avec une perturbation d'origine expérimentale, due à une défectuosité de cet appareillage (mesure non idéale).

$\imath\imath\imath-$ On remarque l'implication réciproque :

$$\mathcal{P}rob\,(\Psi\to\varphi)=0~~~~~~\longleftrightarrow~~~~~ <\Psi\mid \varphi>=0$$

Puisque une mesure idéale classique prétend ne pas perturber ou modifier l'état du système physique observé :

$$\mathcal{P}rob\,(\Psi\to\varphi)=0$$

il en résulte que, en général, tout se passe comme si les états considérés par la physique classique^II14 étaient tous orthogonaux entre eux.

$\imath v-$ Quand tout ou partie des observables mesurées, par exemple $\Omega$ , possède un spectre continu de valeurs propres $\omega$ , l'état final considéré ci-dessus est celui provoqué par la réduction du paquet d'ondes et est donc de la forme :

$$\mid \varphi>=\frac{1}{N}\,\int_{\delta\omega}\,\mid \omega>\,d\omega\,<\omega\mid \Psi>$$

l'intervalle $\delta\omega$ étant défini par la précision expérimentale de la mesure et le facteur $N$ étant choisi tel que $<\varphi\mid \varphi>=1$ . Il en résulte :

$$\mathcal{P}rob\,(\Psi\to\varphi)=\begin{array}{\vert c\vert}<... ...ray}{\vert c\vert}<\omega\mid \Psi>\\ \end{array}^{~2}\,d\omega$$

et si $\delta\omega$ est infinitésimal, c'est-à-dire $\delta\omega=d\omega$ :

$$\mathcal{P}rob\,(\Psi\to\omega : \omega\,\in\,d\omega)= \begi... ...ray}{\vert c\vert}<\omega\mid \Psi>\\ \end{array}^{~2}\,d\omega$$

Les résultats obtenus sont bien identiques à ceux obtenus par application immédiate du principe de décomposition spectrale.

En particulier si une particule est dans un état quelconque non localisé :

$$\mid \Psi>=\int_{-\infty}^{+\infty}\,\Psi(x)\,\mid x>\,dx~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ <\Psi\mid \Psi>=1$$

mesurer sa position, c'est lui en donner une, et si on trouve : $\hat{X}\,\in\,\delta x$ c'est par exemple la mettre dans l'état :

$$\mid \varphi>=\frac{1}{N}\,\int_{\delta x}\,\Psi(x)\,\mid x>\,dx~... ...{~2}=\int_{\delta x}\,\begin{array}{\vert c\vert}\Psi(x)\\ \end{array}^{~2}\,dx$$

de telle sorte que :

$$\mathcal{P}rob\,(\Psi\to\varphi)=\begin{array}{\vert c\vert}<\var... ...~2}= \int_{\delta x}\,\begin{array}{\vert c\vert}\Psi(x)\\ \end{array}^{~2}\,dx$$

La fonction d'onde $\Psi(x)$ désigne donc bien une amplitude de densité de probabilité de localisation de la particule.