Le principe de superposition des états réexaminés

Il résulte du codage exprimé par le postulat I que les états physiques peuvent se superposer ou s'ajouter comme le font les vecteurs kets qui les représentent dans l'espace vectoriel $\mathcal{H}$ . Bien que cette superposition quantique des états apparaisse parfois comme une transposition fidèle de la superposition classique, sa signification physique, maintenant précisée par les postulats III et IV, est tout à fait originale, irréductible au point de vue classique et source d'extraordinaires paradoxes, quand elle est mal comprise.

Prenons à nouveau pour illustration l'expérience du cristal de tourmalineII19 et considérons l'état général de polarisation $\mid f>$ du photon. On peut écrire : $$\mid f>=f_x\,\mid x>+f_y\,\mid y>$$ $\mid x>$ et $\mid y>$ désignant les états polarisés dans deux directions orthogonales $Ox$ et $Oy$ de telle sorte que $<x\mid y>=0$ . On notera d'abord que cette décomposition, loin d'être unique, peut être effectuée d'autant de manières qu'il existe de couples de directions orthogonales :

$$\mid f>=f_{x^\prime}\,\mid x^\prime>+f_{y^\prime}\,\mid y^\prime>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<x^\prime\mid y^\prime>=0$$

Il en résulte que la décomposition est arbitraire et que les états composants $\mid x>$ et $\mid y>$ ou $\mid x^\prime>$ et $\mid y^\prime>$ n'ont, a priori, aucune relation privilégiée avec l'etát $\mid f>$ .

Par contre, quand il y a mesure, la décomposition précédente doit être choisie en fonction de l'observable mesurée, c'est-à-dire de l'appareillage utilisé. Par exemple si on mesure la composante $P_u$ de la polarisation du photon dans une direction donnée $u$ , il y a lieu de choisir cette direction pour direction de l'axe $Oy$ :

$$P_u=P_y=\mid y><y\mid$$

$$P_y\,\mid y>=\mid y>~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~P_y\,\mid x>=0\,\mid x>$$

et on vérifiera sur cet exemple l'illustration de l'énoncé général suivant.

Soit un système supposé placé dans un état $f$ représenté quantiquement par le ket :

$$\mid f>=f_1\,\mid g^1>+f_2\,\mid g^2>$$

D'un point de vue classique, on serait tenté d'interpréter une telle superposition en considérant que les propriétés (c'est-à-dire les résultats de mesure) du système sont d'une certaine manière intermédiaires entre celles correspondant aux états composants $g^1$ et $g^2$ . Dans l'exemple précédent :

et c'est bien ce qui est observé d'un point de vue classique, si $M$ désigne le flux d'énergie transmis, quand on admet que celui-ci est porté par des ondes électro-magnétiques et non par des photons.

Du point de vue quantique, il n'en est pas ainsi. S'il existe une grandeur physique $M=P_y$ qui, mesurée sur le système dans l'etat $g^i~~(i=1,2)$ , fournit toujours le résultat $M(g^i)$ , sa mesure sur le système dans l'état $f$ ne fournira pas un résultat $M(f)$ intermédiaire, en ce sens que l'on aurait :

$$M(g^1)\leq M(f)\leq M(g^2)$$

et ceci, tout d'abord pour la raison essentielle que la mesure de $M$ sur l'état $f$ ne fournit pas toujours le même résultat, et donc que $M(f)$ n'existe pas. La mesure de $M$ sur l'état $f$ fournira parfois $M(g^1)$ et parfois $M(g^2)$ avec des probabilités respectives $$\begin{array}{\vert c\vert}f_1\\ \end{array}^{~2}$$ et $$\begin{array}{\vert c\vert}f_2\\ \end{array}^{~2}$$ , c'est-à-dire dépendant des poids relatifs $f_1$ et $f_2$ des états $g^1$ et $g^2$ dans la décomposition. Le résultat de la mesure n'est pas intermédiaire. C'est la probabilité d'un résultat, par exemple $M(g^1)$ (soit $$\begin{array}{\vert c\vert}f_1\\ \end{array}^{~2}$$ ) qui dans l'état $f$ est intermédiaire entre ce qu'elle vaut dans l'état $g^1$ (soit 1) et ce qu'elle vaut dans l'état $g^2$ (soit 0) :

$$0\leq \begin{array}{\vert c\vert}f_1\\ \end{array}^{~2}\leq 1$$

La signification du signe + dans la décomposition quantique d'un état est donc très différente de ce qu'elle est dans la physique classique.

Plus généralement, toute variable dynamique d'un système classique est, à chaque instant, fonction de ses variables de position $x_i$ et de ses variables d'impulsion $p_i$ de telle sorte que l'état instantané de ce système peut être représenté par un point $P$ de coordonnées $x_i,p_i$ dans l'espace des phases $\mathcal{E}$ de ce système. Dire alors que ce système possède une certaine propriété, par exemple $\hat{A}=a$ , c'est dire que ce point $P$ appartient à un sous-espace $\mathcal{E}_a$ caractérisé par :

$$\hat{A}=a~~~~~~\longleftrightarrow~~~~~~ P\,\in\,\mathcal{E}_a\subset\mathcal{E}$$

Cette condition est à la fois nécessaire et suffisante. Il est donc impossible de trouver ce résultat :

$$\hat{A}=a~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{si}~~~~~~~~P\,\not\in\,\mathcal{E}_a$$

L'analogue quantique de cette propriété consiste à affirmer que si l'observable $A$ est mesurée, on trouvera avec certitude le résultat $\hat{A}=a$ et cette propriété implique que le vecteur ket $\mid \Psi>$ représentatif de l'état du système appartient au sous-espace ${\mathcal{H}}_{a}$ associé à la valeur propre ``$a$ '' éventuellement dégénérée :

$$\hat{A}=a~~~~~~~~~~~\longleftrightarrow~~~~~~~~~~~ \mid \Psi>\,\in\,\mathcal{H}_a\,\subset\,\mathcal{H}$$

On notera toutefois que le système possède la propriété seulement si l'observable $A$ est mesurée et le résultat $\hat{A}=a$ est trouvé. Dire que $\mid \Psi>\,\in\,\mathcal{H}_a$ implique seulement une prévision qui n'est réalisé que si la mesure correspondante est effectuée. En effet, la propriété $\hat{A}=a$ ne peut être une propriété intrinsèque de l'objet étudié, mais une propriété de cet objet quand il est mis en interaction avec l'appareillage spécifique qui permet de mesurer cette observable $A$ . Les mesures ne portent pas sur des qualités ou des sortes de propriétés qui viendraient habiller la substance nue d'un objet indépendant. Les mesures portent sur des résultats d'interaction. Sans interaction, pas de résultat et donc pas de propriété effective.

Par ailleurs, on notera également que, en opposition au point de vue classique, la mesure de $\hat{A}$ peut fournir le résultat $\hat{A}=a$ sans que nécessairement $\mid \Psi>\,\in\,\mathcal{H}_a$ . La condition est suffisante mais elle n'est pas nécessaire. Il suffit que le ket $\mid \Psi>$ ait une projection non nulle dans $\mathcal{H}_a$ .

Considérons maintenant le cas où on sait seulement que le système étudié se trouve dans un état $\Psi$ tel que la mesure d'une grandeur physique $\hat{A}$ fournira avec une probabilité égale à 1 l'un ou l'autre de deux résulats possibles : $a$ ou $a^\prime$ (mais parfois $a$ et parfois $a^\prime$ ).

D'un point de vue classique ceci implique que le point représentatif de l'état $\Psi$ dans l'espace des phases appartient à la réunion des sous-espaces $\mathcal{E}_a$ et $\mathcal{E}_{a^\prime}$ :

$$\hat{A}=a~~~\mathrm{ou}~~~a^\prime~~~~~~~~\longleftrightarrow~~~~~~~~~ P\,\in\,\mathcal{E}_a\,\cup\,\mathcal{E}_{a^\prime}\,\subset\mathcal{E}$$

D'un point de vue quantique ceci implique que le vecteur ket $\mid \Psi>$ peut s'écrire :

$$\mid \Psi>=\alpha\,\mid \Psi_a>+\alpha^\prime\,\mid \Psi_{a^\prime}>$$

avec :

$$\mid \Psi_a>\,\in\,\mathcal{H}_a~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mid \Psi_{a^\prime}>\,\in\,\mathcal{H}_{a^\prime}$$

et donc appartient au plus petit espace vectoriel qui contient les deux sous-espaces $\mathcal{H}_a$ et $\mathcal{H}_{a^\prime}$ et donc appartient à la somme directe de $\mathcal{H}_a$ et $\mathcal{H}_{a^\prime}$ :

$$\mid \Psi>\,\in\,\mathcal{H}_a\,\oplus\,\mathcal{H}_{a^\prime}\,\supset\, \mathcal{H}_a\,\cup\,\mathcal{H}_{a^\prime}$$

car la réunion de deux espaces vectoriels n'est pas un espace vectoriel.

Il en résulte que pour l'état $\mid \Psi>$ considéré ci-dessus et avec $\alpha\not=0$ et $\alpha^\prime\not=0$ : $$\hat{A}\not= a~~~~~~\mathrm{puisque}~~~~~~\mid \Psi>\,\not=\,\mathcal{H}_a$$ $$\hat{A}\not= a^\prime~~~~~~\mathrm{puisque}~~~~~~ \mid \Psi>\,\not=\,\mathcal{H}_{a^\prime}$$

bien que, à la suite d'une mesure de $A$ , on trouvera nécessairement :

$$\hat{A}=a~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathrm{ou}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\hat{A}=a^\prime$$

Ainsi, pouvoir affirmer qu'après mesure on trouvera nécessairement $\hat{A}=a~\mathrm{ou}~\hat{A}=a^\prime$ n'implique pas qu'avant mesure, $\hat{A}$ soit nécessairement égal à $a$ ou à $a^\prime$ . Par exemple, dans le cas de l'expérience des deux fentes de Young, pouvoir affirmer et donc savoir que si on observe la traversée de l'électron ou du photon à travers les fentes, on trouvera nécessairement que cette traversée a eu lieu à travers l'une ou l'autre de ces deux fentes n'implique pas qu'en l'absence d'observation il en soit bien de même. Bref, c'est la mesure qui donne à l'observable sa valeur.

En résumé, le fait qu'un système soit toujours trouvé à la suite d'une certaine mesure (mesure d'une observable $A$ par exemple) dans l'un de deux états possibles d'un ensemble (les états propres de $A$ ) n'implique pas qu'avant cette mesure, le système se trouvait déjà effectivement dans l'un ou dans l'autre de ces deux états. Il ne se trouvait ni dans l'un, ni dans l'autre bien qu'il soit toujours trouvé dans l'un des deux. D'un point de vue classique, cette situation parait très paradoxale, mais le paradoxe disparait si le vecteur ket ne prétend pas décrire l'état d'un système non observé, mais constitue seulement le catalogue de ses potentialités d'observation. Une première justification de cette interprétation minimale, consiste à remarquer qu'il existe une infinité de décompositions spectrales distinctes d'un même vecteur ket, et que chacune d'entre elles n'est qu'opérationnelle, et choisie en fonction de l'observable qui va être effectivement mesurée. Par suite les états qui figurent dans chacune de ces décompositions ne sont donc que des états potentiels.