Crochets de Poisson classiques

A tout couple de variables dynamiques $u$ et $v$ fonctions des $q_i$ et des $p_j$ , on peut associer la fonction, appelée crochet de Poisson :

$$(u,v)=\sum\limits_{i=1}^n~\left( {{\partial u}\over{\partial q_i}... ...}}- {{\partial u}\over{\partial p_i}} {{\partial v}\over{\partial q_i}} \right)$$

et on démontre que ce crochet $(u,v)$ est une forme invariante dans un changement de coordonnées et de moments conjugués.

Question 3-1 : Soit une particule de masse $m$ soumise à des forces qui dérivent d'une fonction potentielle $V(x,y,z)$ .

$\imath-$ Ecrivez sa fonction de Lagrange $\mathcal{L}$ . $\imath\imath-$ Exprimez les moments conjugués $p_i$ de ses coordonnées $q_i$ . $\imath\imath\imath-$ Exprimez en fonction des $q_i$ et des $p_j$ la fonction $\mathcal{H}$ énergie totale et les composantes de son moment cinétique $\vec{l}$ à l'origine. $\imath v-$ Calculer les crochets de Poisson : $(x,p_x)~~(y,p_y)~~(z,p_z)$

Les principales propriétés des crochets de Poisson résultent de leur définition :

$$\begin{array}{ccc} (u,v) & = & -(v,u)\\ & & \\ (u_1+u_2,v) ... ...er\\ & & \\ (u,(v,w))+(v,(w,u))+(w,(u,v)) & = & 0 \end{array}$$

On notera que dans les quatrième et cinquième relations, on a respecté dans l'écriture des seconds membres l'ordre des facteurs $u_1$ et $u_2$ d'une part, et $v_1$ et $v_2$ d'autre part. Cet ordre est sans importance dans la mécanique classique, mais va devenir essentiel dans la mécanique quantique, comme il apparait ci-après.