Crochets de Poisson ``quantiques''

A tout crochet de Poisson classique $(u,v)$ Dirac fait correspondre un crochet de Poisson quantique noté $<U,V>$ :

$$(u,v)~~~~~\Longrightarrow~~~~~<U,V>$$

et il est postulé que ces crochets de Poisson quantiques satisfont les mêmes relations que leurs homologues classiques, à condition de toujours respecter l'ordre des facteurs dans un produit. C'est ce qui a été fait précédemment, de telle sorte que ces relations sont également satisfaites par les crochets quantiques. Dès lors, $U_1,U_2,V_1,V_2$ désignant quatre observables quelconques, il en résulte :

$$\begin{array}{ccl} <U_1U_2,V_1V_2> & = & <U_1,V_1V_2>U_2+U_1<... ...+V_1<U_1,V_2>U_2+U_1<U_2,V_1>V_2+U_1V_1<U_2,V_2>\\ \end{array}$$

mais encore également :

$$\begin{array}{ccl} <U_1U_2,V_1V_2> & = & <U_1U_2,V_1>V_2+V_1<... ...+U_1<U_2,V_1>V_2+V_1<U_1,V_2>U_2+V_1U_1<U_2,V_2>\\ \end{array}$$

En exprimant l'identité des deux expressions ainsi obtenues, on écrit :

$$<U_1,V_1>(U_2V_2-V_2U_2)=(U_1V_1-V_1U_1)<U_2,V_2>$$

et puisque $U_1$ et $V_1$ sont indépendants de $U_2$ et $V_2$ :

$$\begin{array}{ccc} (U_1V_1-V_1U_1) & = & k<U_1,V_1>\\ & & \\ (U_2V_2-V_2U_2) & = & k<U_2,V_2>\\ \end{array}$$

Puisque $k$ ne doit dépendre ni de $U_1$ et $V_1$ , ni de $U_2$ et $V_2$ , et doit commuter avec $<U_1,V_1>$ quels que soient $U_1$ et $V_1$ , $k$ est une constante et très généralement on peut écrire, $A$ et $B$ désignant deux observables quelconques :

$$[A,B]=k<A,B>$$