Postulat V (Commutateurs de Dirac)

La valeur du commutateur de deux observables $A$ et $B$ dépend donc de la valeur de son crochet de Poisson quantique. Se fondant sur la correspondance entre ces deux crochets de Poisson classique et quantique, et sur l'analogie de leurs expressions, Dirac a postulé que ces crochets de Poisson avaient les mêmes valeurs :

$$[A,B]=(A,B)$$

Le crochet de Poisson quantique étant donc une constante, ou une fonction réelle d'observable, est hermitique. Puisque, par ailleurs, le commutateur $[A,B]$ de deux observables est toujours anti-hermitique, il en résulte que la constante $k$ est imaginaire pure. Comparant les dimensions physiques^III2de $[A,B]$ et de $(A,B)$ , on remarque que la constante $k$ a les mêmes dimensions qu'une action et donc les mêmes que la constante de Planck. Nous souvenant enfin que tout commutateur doit être une fonction de $\hbar$ tendant vers zéro avec $\hbar$ , nous sommes amenés à postuler avec Dirac que :

$$k=i\hbar$$

d'où le postulat de Dirac :

POSTULAT V

Le commutateur de deux observables $A$ et $B$ a pour expression :

$$[A,B]=i\hbar<A,B>$$

$<A,B>$ désignant l'observable image du crochet de Poisson classique de ces deux observables.