Inégalités fondamentales

En particulier, si le commutateur des deux observables est une constante (qui est d'ailleurs nécessairement imaginaire pure et donc de la forme) :

$$\left[{A},{B}\right]=i\hbar\alpha~~~~~~~\alpha\,\in\,\mathbf{R}$$

il en résulte immédiatement :

$$\Delta A.\Delta B\geq\frac{\hbar}{2}\,\alpha$$

C'est en particulier le cas des observables de base :

$$\begin{array}{ccccc} \left[X,P_x\right] & = & i\hbar & ~~~\Lo... ...eq\scalebox{1.4}{$\frac{\hbar}{2}$} \\ & & & & \\ \end{array}$$

On retrouve bien ici, comme conséquence mathématique du formalisme des relations déjà pressenties qualitativement^III4.

Question 3-5 : Soit $\mid \Psi>=\mid \ell,m>$ un état propre de moment angulaire des observables $\vec{L}^{\,2}$ et $L_z$ .

$\imath-$ Calculez $\left<L_x\right>_\Psi,\left<L_y\right>_\Psi, \left<L_z\right>_\Psi,\left<L_x^2... ...ft<L_y^2\right>_\Psi, \left<L_z^2\right>_\Psi,\left<{\vec{L}}^{\,2}\right>_\Psi$

$\imath\imath-$ Calculez $\left<\left[{L_x},{L_y}\right]\right>_\Psi$ et $\left<\left[{L_x},{L_y}\right]_+\right>$

$\imath\imath\imath-$ Calculez $\Delta L_x.\Delta L_y$ et la borne inférieure dans l'inégalité de Heisenberg concernant $\Delta L_x$ et $\Delta L_y$ .

$\imath v-$ Montrez que la borne inférieure du produit $\Delta L_x.\Delta L_y$ peut être nulle sans que ni $\Delta L_x$ ni $\Delta L_y$ ne le soient.