Relations de commutation

On comprend mieux maintenant la raison profonde pour laquelle les opérateurs $P_x,~P_y$ et $P_z$ commutent entre eux. Cela est dû au fait que les translations dans les différentes directions de l'espace commutent. En effet :

$$\mathcal{D}_x(\delta x)\,.\,\mathcal{D}_y(\delta y)= \mathcal{D}_y(\delta y)\,.\,\mathcal{D}_x(\delta x)$$

ou plus explicitement :

$$e^{-\frac{i}{\hbar}\,\delta x.P_x}\,.\,e^{-\frac{i}{\hbar}\,\delta y.P_y}$$

Question 3-14 : En développant les exponentielles jusqu'au second ordre, et en identifiant les deux membres de l'équation précédente, on obtient :

$$P_x\,.\,P_y=P_y\,.\,P_x$$

Ainsi, c'est parce que le groupe des translations est un groupe commutatif que toutes les composantes de l'impulsion $P_x,~P_y,~P_z$ commutent.